Τραπεζιακές δυσλειτουργίες

KARKAR · #1

: Τραπεζιακές δυσλειτουργίες.png (8 KiB) Προβλήθηκε 843 φορές

Α) Κατασκευάστε το τραπέζιο του σχήματος $(AB \parallel DC )$ .

Β) Υπολογίστε το τμήμα που συνδέει τα μέσα των βάσεών του .

Γ) Υπολογίστε το άθροισμα : AC^2+BD^2

.

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 01, 2024 5:53 pm
Α) Κατασκευάστε το τραπέζιο του σχήματος $(AB \parallel DC )$ .

Β) Υπολογίστε το τμήμα που συνδέει τα μέσα των βάσεών του .

Γ) Υπολογίστε το άθροισμα : .

: shape.png (29.45 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 01, 2024 5:53 pm
Τραπεζιακές δυσλειτουργίες.pngΑ) Κατασκευάστε το τραπέζιο του σχήματος $(AB \parallel DC )$ .

Β) Υπολογίστε το τμήμα που συνδέει τα μέσα των βάσεών του .

Γ) Υπολογίστε το άθροισμα : .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και με K, L

τα μέσα των AC, BD,

έχω $KL=\dfrac{7}{2}.$

$\displaystyle \frac{x}{{x + 5}} = \frac{y}{{y + 6}} = \frac{3}{{10}} \Rightarrow x = \frac{{15}}{7},y = \frac{{18}}{7} \Rightarrow SA = \frac{{50}}{7},SB = \frac{{60}}{7},$ άρα το SAB

είναι κατασκευάσιμο.

Α) Κατασκευάζω το τρίγωνο SAB

και θεωρώ τα σημεία D, C

των

αντίστοιχα,

ώστε $\displaystyle SD = \frac{{15}}{7},SC = \frac{{18}}{7}$ και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

: Τραπεζιακές δυσλειτουργίες.png (15.81 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές

Β) Με τον τύπο της διαμέσου βρίσκω $\displaystyle SM = \frac{{5\sqrt {73} }}{7}$ και από $\displaystyle \frac{{SM}}{{MN}} = \frac{{SA}}{{AD}} \Leftrightarrow$ $\boxed{MN=\frac{\sqrt{73}}{2}}$

Γ) Από θεώρημα $\rm Euler$ στο τραπέζιο ABCD,

$\displaystyle A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4K{L^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle A{C^2} + B{D^2} = 100 + 36 + 9 + 25 - 49 \Leftrightarrow$ $\boxed{AC^2+BD^2=121}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 01, 2024 5:53 pm
Τραπεζιακές δυσλειτουργίες.pngΑ) Κατασκευάστε το τραπέζιο του σχήματος $(AB \parallel DC )$ .

Β) Υπολογίστε το τμήμα που συνδέει τα μέσα των βάσεών του .

Γ) Υπολογίστε το άθροισμα : .

Κατασκευή

Κατασκευάζουμε το τρίγωνο MCB

με

και σχηματίζουμε το παραλ/μμο CEAD

με

Ο ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο MCB

δίνει $cosB= \dfrac{5}{7} ,cos \angle BEC=cosA= \dfrac{19}{35}$

Πάλι με ν,συνημιτόνου στα τρίγωνα DAM,CMB

παίρνουμε $x^2= \dfrac{160}{7} ,y^2= \dfrac{127}{7}$

Τώρα με θ.διαμέσου στο τρίγωνο DMC

εύκολα $MN= \dfrac{ \sqrt{73} }{2}$

Είναι $cosD=- \dfrac{19}{35} ,cosC=- \dfrac{5}{7}$ και πάλι ο ν.συνημιτόνου στα τρίγωνα

ADC,DCB

δίνει $AC^2= \dfrac{352}{7} ,BD^2= \dfrac{495}{7}$ .Άρα AC^2+ BD^2=121

: τραπεζιακές δυσλειτουργίες.png (41.81 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

#5

Να πω, ότι αν η DE είναι παράλληλη στην BC, το τρίγωνο DAE κατασκευάζεται (5, 7, 6) και η διάμεσός του από το D είναι ίση με την MN κ.λπ.

Τραπεζιακές δυσλειτουργίες

Τραπεζιακές δυσλειτουργίες

Re: Τραπεζιακές δυσλειτουργίες

Re: Τραπεζιακές δυσλειτουργίες

Re: Τραπεζιακές δυσλειτουργίες

Re: Τραπεζιακές δυσλειτουργίες

Μέλη σε σύνδεση