Εμβαδόν τριγώνου (2)

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (14.14 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές

Ένα τρίγωνο ABC

έχει διχοτόμο $AD = 4\sqrt 7$ . Αν DC = 2BD = 8

, να βρείτε το εμβαδόν του.

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 23, 2024 12:13 pm
shape.pngΈνα τρίγωνο έχει διχοτόμο $AD = 4\sqrt 7$ . Αν , να βρείτε το εμβαδόν του.

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} b = 2c \hfill \\ A{D^2} = bc - BD \cdot DC \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} b = 2c \hfill \\ bc = 144 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = 12\sqrt 2 \hfill \\ c = 6\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\displaystyle \cos 2\omega = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin 2\omega = \frac{{\sqrt 7 }}{4}$

$\boxed{(ABC) = \frac{1}{2}bc\sin 2\omega = 18\sqrt 7 }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 23, 2024 12:13 pm
shape.pngΈνα τρίγωνο έχει διχοτόμο $AD = 4\sqrt 7$ . Αν , να βρείτε το εμβαδόν του.

Από θ.διχοτόμου είναι b=2c

και με $BE=c \Rightarrow AE=AC=b$ ,

είναι βαρύκεντρο

του τριγώνου AEC

και

μεσοκάθετος της

Με θ.διαμέσου στο τρίγωνο $ADC \Rightarrow b=12 \sqrt{2} \Rightarrow c=6 \sqrt{2}$

και Π.Θ στο τρίγωνο DMC

,

άρα $(ADE)= 12 \sqrt{7}$

Έτσι, $(ABC)= \dfrac{3}{2}(ADC) =18 \sqrt{7}$

: Εμβαδόν τριγώνου.png (28.78 KiB) Προβλήθηκε 779 φορές

KARKAR · #4

Η τεχνική του Μιχάλη δεν μπορεί να εφαρμοστεί . Η τεχνική του Γιώργου δεν επιτρέπεται ( ! )

να εφαρμοστεί . Με αυτά ως δεδομένα υπολογίστε το εμβαδόν του παρατιθέμενου τριγώνου .

: Αφοπλισμός.png (9.48 KiB) Προβλήθηκε 730 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 24, 2024 9:04 pm
Η τεχνική του Μιχάλη δεν μπορεί να εφαρμοστεί . Η τεχνική του Γιώργου δεν επιτρέπεται ( ! )

να εφαρμοστεί . Με αυτά ως δεδομένα υπολογίστε το εμβαδόν του παρατιθέμενου τριγώνου .Αφοπλισμός.png

Προεκτείνοντας την

κατά τμήμα BE=18

πρροφανώς ισχύει AD^2=DB.DE

συνεπώς

εφάπτεται

του κύκλου (A,E,B)

,άρα και η

εφάπτεται του κύκλου (A,E,D)

.

Επομένως $b^2=9.33\Rightarrow b=3 \sqrt{33}$ κι επειδή $c= \dfrac{2}{3}b \Rightarrow c=2 \sqrt{33}$ άρα $\triangle ABC$ οξυγώνιο

Ο ν.σηνημιτόνου στο τρίγωνο ABC

δίνει εύκολα $cosB= \dfrac{1}{ \sqrt{33} }$ οπότε $sin B =4 \sqrt{ \dfrac{2}{33} }$

Εύκολα τώρα $(ABC)= 60 \sqrt{2}$

: εμβαδόν...τριγώνου.png (49.09 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 24, 2024 9:04 pm
Η τεχνική του Μιχάλη δεν μπορεί να εφαρμοστεί . Η τεχνική του Γιώργου δεν επιτρέπεται ( ! )

να εφαρμοστεί . Με αυτά ως δεδομένα υπολογίστε το εμβαδόν του παρατιθέμενου τριγώνου .

: sol-KARKAR.png (23.93 KiB) Προβλήθηκε 695 φορές

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 24, 2024 9:04 pm
Η τεχνική του Μιχάλη δεν μπορεί να εφαρμοστεί . Η τεχνική του Γιώργου δεν επιτρέπεται ( ! )

να εφαρμοστεί . Με αυτά ως δεδομένα υπολογίστε το εμβαδόν του παρατιθέμενου τριγώνου .Αφοπλισμός.png

: Εμβαδόν τριγώνου_2.png (33.06 KiB) Προβλήθηκε 670 φορές

Τα μήκη των εγχρώμων τμημάτων προκύπτουν από απλές ομοιότητες τριγώνων . Άρα ( Π. Θ.) $y = \sqrt {128} = 8\sqrt 2 \Rightarrow \left( {ABC} \right) = 60\sqrt 2$

Παρατήρηση .

Η λύση, Αμιγώς Γεωμετρική, σε κάθε περίπτωση γίνεται με την κατασκευή Απολλώνιου κύκλου.

: Εμβαδόν τριγώνου_2_extra.png (31.1 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές

Εμβαδόν τριγώνου (2)

Εμβαδόν τριγώνου (2)

Re: Εμβαδόν τριγώνου (2)

Re: Εμβαδόν τριγώνου (2)

Re: Εμβαδόν τριγώνου (2)

Re: Εμβαδόν τριγώνου (2)

Re: Εμβαδόν τριγώνου (2)

Re: Εμβαδόν τριγώνου (2)

Μέλη σε σύνδεση