Εύρεση διαμέσου

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (10.36 KiB) Προβλήθηκε 589 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε τη διάμεσο BM = x

.

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 28, 2024 10:30 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε τη διάμεσο .

$BM = 2 + \sqrt 5$

Θ. διχοτόμου στο $\vartriangle MAC$ , $k = mx\,\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά ισχύει ακόμα , $M{D^2} = MB \cdot MC - DB \cdot DC \Rightarrow 1 = m - kx$

ή λόγω της $\left( 1 \right)$ : $\boxed{{x^2} = \frac{{m - 1}}{m}}\,\,\left( 2 \right)$ . Η πλευρά BC = a = k + x

ή λόγω της $\left( 1 \right)$ , $a = x\left( {m + 1} \right)\,\,$ .

Εφαρμόζω το Π. Θ. στα : $\vartriangle ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ABM$ κι έχω : $\left\{ \begin{gathered} {y^2} = {\left( {k + x} \right)^2} - 4 \hfill \\ {y^2} = {m^2} - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {\left( {k + x} \right)^2} - 4 = {m^2} - 1$ ή λόγω πάλι της $\left( 1 \right)$ κι έχω :

: Εύρεση διαμέσου.png (18.11 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

$\boxed{{x^2} = \dfrac{{{m^2} + 3}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}}$ οπότε λόγω της $\left( 2 \right)$ έχω την εξίσωση : $\dfrac{{{m^2} + 3}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{m - 1}}{m} = 0$ . Η εξίσωση αυτή γράφεται :

$\dfrac{{{m^2} - 4m - 1}}{{m{{(m + 1)}^2}}} = 0$ απ όπου έχει δεκτή τη θετική ρίζα : $\boxed{m = 2 + \sqrt 5 }$

#3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 28, 2024 10:30 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε τη διάμεσο .

Αν

τότε από θ. διχοτόμου είναι BD=xd

και από θ. Ευκλείδη, $\boxed{4=(x+1)d^2}$ (1)

: Εύρεση διαμέσου.png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 547 φορές

Κριτήριο καθετότητας, $\displaystyle {c^2} - 4 = {x^2}{d^2} - {d^2} = (x - 1)(x + 1){d^2}\mathop = \limits^{(1)} 4(x - 1) \Leftrightarrow {c^2} = 4x$

και με Π.Θ στο ABM,

$\displaystyle {x^2} = 4x + 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=2+\sqrt 5}$

#4

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 28, 2024 10:30 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε τη διάμεσο .

Από το Θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο προκύπτει $\vartriangle MBC$

$\dfrac{x}{1}=\dfrac{BD}{DC}\overset{AD\bot BC\left( DM=MC=MA \right),\angle BAC={{90}^{0}}}{\mathop{=}}\,\dfrac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}\overset{\Pi .\Theta \,\,\sigma \tau o\,\,\vartriangle ABM}{\mathop{=}}\,\dfrac{{{x}^{2}}-1}{4}\Rightarrow$ ${{x}^{2}}-1=4x\overset{x>0}{\mathop{\Rightarrow }}\,x=2+\sqrt{5}$
(Να θυμηθούμε ότι ο λόγος των τετραγώνων των καθέτων πλευρών ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το λόγο των προβολών τους στην υποτείνουσά του

#5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 28, 2024 4:43 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 28, 2024 10:30 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε τη διάμεσο .
Από το Θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο προκύπτει $\vartriangle MBC$ $\dfrac{x}{1}=\dfrac{BD}{DC}\overset{AD\bot BC\left( DM=MC=MA \right),\angle BAC={{90}^{0}}}{\mathop{=}}\,\dfrac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}\overset{\Pi .\Theta \,\,\sigma \tau o\,\,\vartriangle ABM}{\mathop{=}}\,\dfrac{{{x}^{2}}-1}{4}\Rightarrow$ ${{x}^{2}}-1=4x\overset{x>0}{\mathop{\Rightarrow }}\,x=2+\sqrt{5}$
(Να θυμηθούμε ότι ο λόγος των τετραγώνων των καθέτων πλευρών ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το λόγο των προβολών τους στην υποτείνουσά του

Φανης Θεοφανιδης · #6

: 798.png (14.76 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

Στο παραπάνω σχήμα είναι $NP\parallel BC$ .
Οι μπλε γωνίες προκύπτουν εύκολα.
$\triangle BDN\sim \triangle BAC\Rightarrow c=\dfrac{2m}{k} (1)$ .
Αλλά $ME=x\Rightarrow k=\dfrac{x-1}{2} (2)$ .
Ο Πτολεμαίος στο BAMN

λέει $c\cdot (k+1)+m=m\cdot x\Rightarrow x=\sqrt{5}+2$ {λόγω της (1)

και

)}.

Εύρεση διαμέσου

Εύρεση διαμέσου

Re: Εύρεση διαμέσου

Re: Εύρεση διαμέσου

Re: Εύρεση διαμέσου

Re: Εύρεση διαμέσου

Re: Εύρεση διαμέσου

Μέλη σε σύνδεση