Διχοτόμος από εμβαδόν

KARKAR · #1

: Διχοτόμος από εμβαδόν.png (11.79 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με : $\hat{A}=60^0$ , γνωρίζουμε το εμβαδόν

και το άθροισμα b+c

. Υπολογίστε την διxοτόμο

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 01, 2025 9:53 pm
Διχοτόμος από εμβαδόν.pngΣτο τρίγωνο , με : $\hat{A}=60^0$ , γνωρίζουμε το εμβαδόν

και το άθροισμα . Υπολογίστε την διxοτόμο .

Στην προέκταση της

παίρνουμε σημείο

ώστε

Τα τρίγωνα ADC,BDZ

είναι ισοδύναμα αφού έχουν ίσες βάσεις και ίσα προς αυτές ύψη.

Έτσι είναι φανερό ότι $(ADZ)=E \Rightarrow \dfrac{(b+c)xsin30^0}{2}=E \Rightarrow x= \dfrac{4E}{b+c}$

: διχοτόμος από εμβαδόν.png (21.79 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 01, 2025 9:53 pm
Διχοτόμος από εμβαδόν.pngΣτο τρίγωνο , με : $\hat{A}=60^0$ , γνωρίζουμε το εμβαδόν

και το άθροισμα . Υπολογίστε την διxοτόμο .

Με νόμο συνημιτόνου, $\displaystyle {a^2} = {b^2} + {c^2} - bc = {(b + c)^2} - 3bc \Leftrightarrow {(b + c)^2} - {a^2} = 3bc$

$\displaystyle A{D^2} = bc\left( {\frac{{{{(b + c)}^2} - {a^2}}}{{{{(b + c)}^2}}}} \right) \Leftrightarrow AD = \frac{{bc\sqrt 3 }}{{(b + c)}}.$ Αλλά, $\displaystyle E = \frac{1}{2}bc\sin 60^\circ = \frac{{bc\sqrt 3 }}{4}$

Άρα, $\boxed{AD = \frac{{4E}}{{b + c}}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 01, 2025 9:53 pm
Διχοτόμος από εμβαδόν.pngΣτο τρίγωνο , με : $\hat{A}=60^0$ , γνωρίζουμε το εμβαδόν

και το άθροισμα . Υπολογίστε την διxοτόμο .

Στο σχήμα είναι $DF=DZ=\dfrac{d}{2}.$

: Διχοτόμος από εμβαδόν.png (11.53 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές

$\displaystyle E = (ABD) + (ADC) = \frac{1}{2}c \cdot DF + \frac{1}{2}b \cdot DZ = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{2}(b + c) \Leftrightarrow$ $\boxed{d=\frac{4E}{(b+c)}}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 01, 2025 9:53 pm
Διχοτόμος από εμβαδόν.pngΣτο τρίγωνο , με : $\hat{A}=60^0$ , γνωρίζουμε το εμβαδόν

και το άθροισμα . Υπολογίστε την διxοτόμο .

Η λύση του Μιχάλη είναι πολύ όμορφη κι απλή ! Ας δούμε και μια ακόμη .

Προεκτείνω την

πτός το

κατά τμήμα AP = AB = c

. Θέτω $AD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BP = y$ και ταυτόχρονα ισχύουν :

$\left\{ \begin{gathered} y = {\lambda _3} = c\sqrt 3 \hfill \\ \frac{x}{y} = \frac{b}{{b + c}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y = {\lambda _3} = c\sqrt 3 \hfill \\ x = \frac{{bc\sqrt 3 }}{{b + c}}\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Εξ άλλου , $\left( {ABC} \right) = E = \frac{1}{2}bc \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{4}bc\sqrt 3$ ή $\boxed{bc\sqrt 3 = 4E}\,\,\left( 2 \right)$ .

: Διχοτόμος απο εμβαδόν_1.png (24.57 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

Από τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ έχω : $\boxed{x = 4\frac{E}{{b + c}}}$

abgd · #6

Να προσθέσω και αυτή....

Αν AD=d

θα είναι:

$E=(ABC)=(ABD)+(ACD)=\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot d \cdot sin30^o+\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot d\cdot sin30^o=d \cdot \dfrac{b+c}{4}$ .

Άρα

$d=\dfrac{4E}{b+c}$

Διχοτόμος από εμβαδόν

Διχοτόμος από εμβαδόν

Re: Διχοτόμος από εμβαδόν

Re: Διχοτόμος από εμβαδόν

Re: Διχοτόμος από εμβαδόν

Re: Διχοτόμος από εμβαδόν

Re: Διχοτόμος από εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση