Ισότητα αθροισμάτων

KARKAR · #1

: Ισότητα αθροισμάτων.png (14.83 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές

Στις πλευρές Ox , Oy

, της ορθής γωνίας $\hat{O}$ , θεωρούμε τυχόντα σημεία A , B

και

αντίστοιχα .

Δείξτε ότι : AC^2+BD^2=AD^2+BC^2

. Αν δυσκολεύεστε , χρησιμοποιήστε συντεταγμένες .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 25, 2025 7:24 am
Ισότητα αθροισμάτων.pngΣτις πλευρές , της ορθής γωνίας $\hat{O}$ , θεωρούμε τυχόντα σημεία και αντίστοιχα .

Δείξτε ότι : . Αν δυσκολεύεστε , χρησιμοποιήστε συντεταγμένες .

Θέτω

Με Πυθαγ'όρειο βρίσκω:

$\displaystyle A{C^2} + B{D^2} = ({a^2} + {c^2}) + ({b^2} + {d^2}) = ({a^2} + {d^2}) + ({b^2} + {c^2}) = A{D^2} + B{C^2}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 25, 2025 7:24 am
Ισότητα αθροισμάτων.pngΣτις πλευρές , της ορθής γωνίας $\hat{O}$ , θεωρούμε τυχόντα σημεία και αντίστοιχα .

Δείξτε ότι : . Αν δυσκολεύεστε , χρησιμοποιήστε συντεταγμένες .

.

: ισότ.png (27.4 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές

.
Σχεδιάζουμε το συμμετρικό σχήμα ως προς την

. Επειδή το ύψος του τριγώνου DA'B

είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

με

σταθερό (γνωστό στον Απολλώνιο), έχουμε

DB^2-DA' ^2= CB^2-CA' ^2

ισοδύναμα

, που με την σειρά του είναι άλλη γραφή του αποδεικτέου.

#4

Η παραπάνω άσκηση αποτελεί και κριτήριο καθετότητας.

Αν σε τετράπλευρο το άθροισμα των τετραγώνων δύο απέναντι πλευρών ισούται με το άθροισμα
των τετραγώνων των διαγωνίων, τότε οι ευθείες των δύο άλλων πλευρών τέμνονται κάθετα.

duamba · #5

Η τελευταία εκφώνηση μου θύμησε ένα πρόβλημα από ένα βιβλίο ασκήσεων γεωμέτριας με το οποίο (προσπαθώ να) παλεύω που και που.

Αν σε ένα τετράπλευρο το άθροισμα των τετραγώνων δυο απέναντι πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των αλλων δυο απέναντι πλευρών, οι διαγώνιοι θα είναι κάθετες μεταξύ τους και τα τμήματα που ενώνουν τα μέσα απέναντι πλευρών θα είναι ίσα.

*edit για διόρθωση: ευθείες-> τμήματα

#6

duamba έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 25, 2025 4:51 pm
Η τελευταία εκφώνηση μου θύμησε ένα πρόβλημα από ένα βιβλίο ασκήσεων γεωμέτριας με το οποίο (προσπαθώ να) παλεύω που και που.

Αν σε ένα τετράπλευρο το άθροισμα των τετραγώνων δυο απέναντι πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των αλλων δυο απέναντι πλευρών, οι διαγώνιοι θα είναι κάθετες μεταξύ τους και οι ευθείες που ενώνουν τα μέσα απέναντι πλευρών θα είναι ίσες.

Αυτό το πρόβλημα είχα υπόψη μου όταν έγραψα την παραπάνω εκφώνηση.
Με τους συμβολισμούς του σχήματος έχω a^2+b^2=c^2+d^2.

Αλλά,

: Ισότητα αθροισμάτων.png (13.77 KiB) Προβλήθηκε 375 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = {x^2} + {y^2} - 2xy\cos \theta \\ {b^2} = {w^2} + {z^2} - 2zw\cos \theta \\ {c^2} = {x^2} + {z^2} + 2xz\cos \theta \\ {d^2} = {w^2} + {y^2} + 2yw\cos \theta \end{array} \right.$

Από τη δοσμένη ισότητα προκύπτει ότι $\displaystyle (xy + zw + xz + yw)\cos \theta = 0,$ απ' όπου $\cos \theta = 0,$

δηλαδή $\boxed{\theta=90^\circ}$ Όσο για το δεύτερο ερώτημα το σωστό είναι "τα τμήματα που ενώνουν τα μέσα...".

Πράγματι, από γνωστή πρόταση, το τεράπλευρο που ορίζουν τα μέσα των πλευρών είναι παραλληλόγραμμο κι επειδή

οι διαγώνιες είναι κάθετες, θα είναι ορθογώνιο. Οι διαγώνιες όμως του ορθογωνίου είναι ίσες, δηλαδή τα τμήματα που

ενώνουν τα μέσα των απένατι πλευρών.

STOPJOHN · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 25, 2025 7:24 am
Ισότητα αθροισμάτων.pngΣτις πλευρές , της ορθής γωνίας $\hat{O}$ , θεωρούμε τυχόντα σημεία και αντίστοιχα .

Δείξτε ότι : . Αν δυσκολεύεστε , χρησιμοποιήστε συντεταγμένες .

Τα σημεία

είναι τα μέσα των υποτεινουσών στα ορθογώνια τρίγωνα

OCA,OAD,ODB,OAD

αντίστοιχα.Οπότε η αποδεικτέα σχέση γράφεται $OM^{2}+ON^{2}=OP^{2}+OL^{2},(*)$

Είναι $MP//DC,NL//DC,PN//OB,ML//OB,\hat{PML}=90^{0}$ Αρα τπ τετράπλευρο PMLN

είναι ορθογώνιο . Απο θεωρήματα διαμέσων στα τρίγωνα

OMN,OPL

,

$OM^{2}+ON^{2}=2OS^{2}+\dfrac{MN^{2}}{2}, OP^{2}+OL^{2}=2OS^{2}+\dfrac{PL^{2}}{2}\Rightarrow (*)$

Ισότητα αθροισμάτων

Ισότητα αθροισμάτων

Re: Ισότητα αθροισμάτων

Re: Ισότητα αθροισμάτων

Re: Ισότητα αθροισμάτων

Re: Ισότητα αθροισμάτων

Re: Ισότητα αθροισμάτων

Re: Ισότητα αθροισμάτων

Μέλη σε σύνδεση