Συνευθειακότητα και εμβαδόν

#1

: Συνευθειακότητα και εμβαδόν.png (16.49 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές

$\bigstar$ Το

είναι σημείο της διαμέτρου AB=2R

ημικυκλίου, τέτοιο ώστε AL=4LB

και η κάθετη από το

στη διάμετρο

τέμνει το ημικύκλιο στο

Φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα AD, BC

του κύκλου (K,KL).

Να δείξετε ότι τα σημεία C, K,

είναι συνευθειακά και να υπολογίσετε το εμβαδόν του ABCD

συναρτήσει του

giannimani · #2

Οι εφαπτομένες

,

είναι συμμετρικές της

ως προς τις

,

αντίστοιχα.
Επομένως, $\angle DAB +\angle CBA = 2(\angle KAB + \angle KBA)=180^{\circ}\Rightarrow AD \parallel BC$ .
Εφόσον $KD \bot AD$ και $KC \bot BC$ , τότε $KD \parallel KC$ , δηλαδή, τα

,

και

συνευθειακά.

: same_line_area_trapezoid.png (35.09 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές

Λόγω των παραπάνω συμμετριών άμεσα προκύπτει ότι $(ABCD)= 2(AKB) \quad (1)$
Είναι $KL^2= AL \cdot LB= 4 LB^2\Rightarrow KL =2LB=\frac{4}{5}R$ .
Επομένως, $(ABCD) =2\frac{AB\cdot KL}{2}=2R \cdot \frac{4}{5}R=\frac{8}{5}R^2$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 28, 2026 12:23 pm
Συνευθειακότητα και εμβαδόν.png
$\bigstar$ Το είναι σημείο της διαμέτρου ημικυκλίου, τέτοιο ώστε και η κάθετη από το στη διάμετρο

τέμνει το ημικύκλιο στο Φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου Να δείξετε ότι τα σημεία

είναι συνευθειακά και να υπολογίσετε το εμβαδόν του συναρτήσει του

Έστω $BK \cap AD=E$ .Λόγω και των χαρταετών DKLA,KLBC

προφανώς οι γωνίες $\phi$ είναι

ίσες,άρα D,K,C

συνευθειακά και EDBC

παραλ/μμο

Έτσι (ABCD)=(EAB)

.Αλλά $\dfrac{KA^2}{KB^2}= \dfrac{AL}{LB}=4 \Rightarrow KA=2KB=EB$

Άρα $(ABCD) =(EAB )= \dfrac{KA.BE}{2}= \dfrac{KA^2}{2}= \dfrac{ \dfrac{8R}{5}.2R }{2}= \dfrac{8R^2}{5}$

: Συνευθειακότητα κι εμβαδόν.png (30.54 KiB) Προβλήθηκε 39 φορές

Συνευθειακότητα και εμβαδόν

Συνευθειακότητα και εμβαδόν

Re: Συνευθειακότητα και εμβαδόν

Re: Συνευθειακότητα και εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση