συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Γιώργος Απόκης · #21

ΑΣΚΗΣΗ 9

Δίνονται τα διανύσματα $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ με $|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=k>0$ .

α) Αν $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$ , να δείξετε ότι ισχύει : $\displaystyle{\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\frac{3k^2}{2}+\vec{u}\cdot \vec{v}}$ .

β) Αν $\displaystyle{\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\frac{3k^2}{2}+\vec{u}\cdot \vec{v}$ , να δείξετε ότι ισχύει : $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}}$ .

(Σαφώς και πρόκειται για ευθύ και αντιστροφο)

Γιώργος Απόκης · #22

dennys έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 6
1) Δινονται τα διανύσματα $\vec a, \vec b, \vec c$ τετοια ωστα $|\vec b|=|\vec c|=7,|\vec a|=\sqrt{13}$
και $4{ \vec b}+3 {\vec c}=7 {\vec a}$ .Να βρείτε την γωνία των $(\vec b, \vec c)$
2)Αν τα 3 διανύσματα εχουν κοινη αρχή να δείξετε οτι τα περατα τους ειναι συνευθειακά.
3 ) Να βρείτε διανυσμα $\vec x$ και το μετρο του αν $\vec x // (2 \vec b+\vec c)$ , $(\vec x+ 2 \vec c) \bot \vec b$
dennys

1) Έχουμε : $\displaystyle{4\vec{b}+3\vec{c}=7\vec{a}\Rightarrow (4\vec{b}+3\vec{c})^2=(7\vec{a})^2\Rightarrow 16\vec{b}^2+24\vec{b}\cdot \vec{c}+9\vec{c}^2=49\vec{a}^2}\Rightarrow$

$\displaystyle{\Rightarrow 16\cdot 49+24\vec{b}\cdot \vec{c}+9\cdot 49=49\cdot 13\Rightarrow \vec{b}\cdot \vec{c}=\frac{49(13-16-9)}{24}\Rightarrow \vec{b}\cdot \vec{c}=\frac{49(-12)}{24}\Rightarrow \vec{b}\cdot \vec{c}=-\frac{49}{2}}$

Άρα, για τη γωνία τους: $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega=\frac{-\frac{49}{2}}{7\cdot 7}=-\frac{1}{2}}$ και η γωνία είναι $\omega =120^{o}$ .

2) Αν

η κοινή αρχή των διανυσμάτων και A,B,C

τα πέρατα, ισχύει :

$\displaystyle{4\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=7\overrightarrow{OA}\Rightarrow 4\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OA}\Rightarrow 4(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=3(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})\Rightarrow 4 \overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{CA}}$

άρα $\overrightarrow{AB} // \overrightarrow{CA}$ και τα πέρατα είναι συνευθειακά.

3) Αφού $\vec x / / (2\vec b+ \vec c)$ υπάρχει πραγματικός

ώστε $\vec x =k (2\vec b+ \vec c)$ (1)

Έχουμε : $\displaystyle{(\vec x+2\vec c)\perp \vec b\Rightarrow (\vec x+2\vec c)\cdot \vec b=0\overset{(1)}\Rightarrow (2k \vec b+k\vec c+2 \vec c)\cdot \vec b=0\Rightarrow 2k |\vec b|^2+(k+2) \vec b \cdot \vec c=0\Rightarrow 49\cdot 2k+(k+2)\frac{-49}{2}=0\Rightarrow k=\frac{2}{3}}$ .

Eπομένως, $\displaystyle{\vec x =\frac{2}{3} (2\vec b+ \vec c)}$ και για το μέτρο : $\displaystyle{\vec x^2 =\frac{4}{9} (4\vec b^2+ 4\vec b\cdot \vec c+\vec c^2)=\frac{4}{9}(4\cdot 49-2\cdot 49+49)= \frac{4}{9}\cdot 49\cdot 3}$ άρα $\displaystyle{|\vec x| =\frac{2\cdot 7 \sqrt{3}}{3}=\frac{14 \sqrt{3}}{3}}$ .

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #23

ΑΣΚΗΣΗ 10

Δίνονται τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow a }$ και $\displaystyle{\overrightarrow b }$ με $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 6 }$ και $\displaystyle{\overrightarrow a ^2 + \overrightarrow b ^2 = 9}$

Να δείξετε οτι:

α. $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 9 }$

β. $\displaystyle{{\overrightarrow a \bot \overrightarrow b }}$

γ. Να υπολογίσετε το $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| }$ και το $\displaystyle{\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|}$

Χ.& Ι.Στεργίου -Χ.Νάκης (εκδοσεις Σαββάλας )

Γιώργος Απόκης · #24

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 10
Δίνονται τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow a }$ και $\displaystyle{\overrightarrow b }$ με $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 6 }$ και $\displaystyle{\overrightarrow a ^2 + \overrightarrow b ^2 = 9}$
Να δείξετε οτι:
α. $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 9 }$
β. $\displaystyle{{\overrightarrow a \bot \overrightarrow b }}$
γ. Να υπολογίσετε το $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| }$ και το $\displaystyle{\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|}$
Χ.& Ι.Στεργίου -Χ.Νάκης (εκδοσεις Σαββάλας )

1) Έχουμε : $\displaystyle{\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 6 \Rightarrow \left(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|\right)^2 = 36\Rightarrow (\vec a+\vec b)^2+(\vec a-\vec b)^2+2|\vec a+\vec b||\vec a-\vec b|=36\Rightarrow }$

$\displaystyle{\Rightarrow 2(\vec a^2+\vec b^2)+2|\vec a+\vec b||\vec a-\vec b|=36\Rightarrow 18+2|\vec a+\vec b||\vec a-\vec b|=36\Rightarrow |\vec a+\vec b||\vec a-\vec b|=9}$ .

2) Είναι : $\displaystyle{|\vec a+\vec b||\vec a-\vec b|=9\Rightarrow (|\vec a+\vec b||\vec a-\vec b|)^2=81\Rightarrow |\vec a+\vec b|^2|\vec a-\vec b|^2=81\Rightarrow (\vec a+\vec b)^2(\vec a-\vec b)^2=81\Rightarrow (\vec a^2+\vec b^2+2\vec a\cdot \vec b)(\vec a^2+\vec b^2-2\vec a\cdot \vec b)=81\Rightarrow}$

$\Rightarrow (9+2\vec a\cdot \vec b)(9-2\vec a\cdot \vec b)=81\Rightarrow 81-4(\vec a\cdot \vec b)^2=81\Rightarrow \vec a\cdot \vec b=0\Rightarrow \vec a\perp \vec b$ .

3) Από τις σχέσεις $|\vec a+\vec b|+|\vec a-\vec b|=6$ και $|\vec a+\vec b||\vec a-\vec b|=9$ προκύπτει ότι τα ζητούμενα μέτρα είναι οι λύσεις της εξίσωσης $k^2-6k+9=0\Leftrightarrow k=3$

άρα $|\vec a+\vec b|=|\vec a-\vec b|=3$

parmenides51 · #25

ΑΣΚΗΣΗ 11

A. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{k,l}$ και τα μη συγραμμικά διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow a, \overrightarrow b }$ ισχύει ότι $\displaystyle{k \overrightarrow a = l \overrightarrow b }$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{k=l= 0}$ .

B. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u }$ και $\displaystyle{\overrightarrow {AC } = \overrightarrow v }$ .

i. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\left( {{x^2} - 5x + 6} \right)\overrightarrow u = \left( {{x^2} + 2x - 8} \right)\overrightarrow v }$ ως προς $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$

ii. Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{D,E,Z}$ ώστε να ισχύει $\displaystyle{\overrightarrow {AD } = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} }$ , $\displaystyle{\overrightarrow {AZ} = \frac{4}{5}\overrightarrow {AC }}$ και $\displaystyle{\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {BC } }$ .
ii.α . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\overrightarrow {DE} = - \frac{{5\overrightarrow u}}{3} + 2\overrightarrow v }$ και $\displaystyle{\overrightarrow {DZ} = - \frac{2}{3}\overrightarrow u+ \frac{4}{5}\overrightarrow v}$

ii.β. Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{D,E,Z}$ είναι συνευθειακά.

edit: Αφαίρεση από την εκφώνηση του ζητήματος Α ''τα μη μηδενικά'' ως περιττό δεδομένο

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dennys · #26

ΑΣΚΗΣΗ 10

1)Υψ'ωνω στο τετράγωνο την δοσμένη σχέση και εχουμε : $(\vec a+\vec b)^2+(\vec a- \vec b)^2+2|\vec a+\vec b||\vec a-\vec b|=36$

$2(\vec a)^2+2(\vec b)^2+2|\vec a+\vec b||\vec a-\vec b|=36$

$|\vec a+\vec b||\vec a-\vec b|=9$

2) Απο το 1) $|\vec a-\vec b|=\cfrac {9}{|\vec a+\vec b|}$ ,με αντικατάσταση στην δοσμένη σχέση

$|\vec a+\vec b|^2+9=6|\vec a+\vec b|\Rightarrow (|\vec a+\vec b|-3)^2=0 \Rightarrow |\vec a+\vec b|=3$

$|\vec a+\vec b|^2=9 \Rightarrow (\vec a)^2+(\vec b)^2+2{\vec a)(\vec b)}=9 \Rightarrow {\vec a}{\vec b}=0, \vec a \bot \vec b$

3) απο το 2) δείξαμε οτι $|\vec a+\vec b|=3 \Rightarrow |\vec a-\vec b|=3$

φιλικά και μαθηματικά

hlkampel · #27

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 11

A. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{k,l}$ και τα μη συγραμμικά διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow a, \overrightarrow b }$ ισχύει ότι $\displaystyle{k \overrightarrow a = l \overrightarrow b }$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{k=l= 0}$ .

B. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u }$ και $\displaystyle{\overrightarrow {AC } = \overrightarrow v }$ .

i. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\left( {{x^2} - 5x + 6} \right)\overrightarrow u = \left( {{x^2} + 2x - 8} \right)\overrightarrow v }$ ως προς $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$

ii. Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{D,E,Z}$ ώστε να ισχύει $\displaystyle{\overrightarrow {AD } = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} }$ , $\displaystyle{\overrightarrow {AZ} = \frac{4}{5}\overrightarrow {AC }}$ και $\displaystyle{\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {BC } }$ .
ii.α . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\overrightarrow {DE} = - \frac{{5\overrightarrow u}}{3} + 2\overrightarrow v }$ και $\displaystyle{\overrightarrow {DZ} = - \frac{2}{3}\overrightarrow u+ \frac{4}{5}\overrightarrow v}$

ii.β. Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{D,E,Z}$ είναι συνευθειακά.

Α. Αν $k \ne 0$ από τη δοσμένη σχέση παίρνουμε $\overrightarrow a = \frac{l}{k}\overrightarrow b$ (1)

αν και $l \ne 0$ , τότε από (1) παίρνουμε $\overrightarrow a //\overrightarrow b$ , το οποίο είναι άτοπο.

Άρα k = 0

Με

είναι $l\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow l = 0$ γιατί αν $\overrightarrow b = \overrightarrow 0$ , από την αρχική σχέση θα είναι και $\overrightarrow a = \overrightarrow 0$ , άτοπο γιατί τα $\overrightarrow a$ , $\overrightarrow b$ θα ήταν συγγραμμικά.

Έτσι k = l = 0

Β. Τα $\overrightarrow u ,\overrightarrow \upsilon$ είναι μη συνευθειακά και μη μηδενικά αφού είναι πλευρές τριγώνου.

Σύμφωνα με το Α ερώτημα από την εξίσωση συμπεραίνουμε ότι:

${x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ ή x = 3

και

${x^2} + 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ ή x = - 4

Έτσι

(η κοινή λύση τους)

ii. α. $\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BE} \Rightarrow \overrightarrow {DE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {DE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + 2\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \Rightarrow$

$\overrightarrow {DE} = \frac{1}{3}\overrightarrow u + 2\left( {\overrightarrow \upsilon - \overrightarrow u } \right) \Rightarrow \overrightarrow {DE} = - \frac{5}{3}\overrightarrow u + 2\overrightarrow \upsilon$

$\overrightarrow {DZ} = \overrightarrow {AZ} - \overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {DZ} = \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {DZ} = \frac{4}{5}\overrightarrow \upsilon - \frac{2}{3}\overrightarrow u$

ii. β. Για να είναι τα σημεία D,E,Z

είναι συνευθειακά πρέπει υπάρχει $\lambda \in R$ ώστε

$\displaystyle{\overrightarrow {DE} = \lambda \overrightarrow {DZ} \Leftrightarrow - \frac{5}{3}\overrightarrow u + 2\overrightarrow \upsilon = \lambda \left( {\frac{4}{5}\overrightarrow \upsilon - \frac{2}{3}\overrightarrow u } \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left( {\frac{{2\lambda }}{3} - \frac{5}{3}} \right)\overrightarrow u = \left( {\frac{{4\lambda }}{5} - 2} \right)\overrightarrow \upsilon \mathop \Leftrightarrow \limits^{\rm A} }$

$\displaystyle{\frac{{2\lambda }}{3} - \frac{5}{3} = \frac{{4\lambda }}{5} - 2 \Leftrightarrow \lambda = \frac{5}{2}}$

Άρα τα σημεία D,E,Z

είναι συνευθειακά

Edit: Προστέθηκε και σχήμα

dennys · #28

ΑΣΚΗΣΗ 12

1)Δίνεται η εξίσωση x^2-(2m-1)x-2m+1=0 (1)

A.Εστω οτι τα σημεία Α,Β, εχουν τεταγμένες τις ρίζες της (1) και το σημείο M(k,3)

,ειναι το μέσον του ΑΒ.

1) να βρείτε το m

2)Nα βρείτε το

ωστε το διάνυσμα $\vec MO$ να σχηματίζει γωνία $300^{o}$ , με τον αξονα x{'}x

Β. Αν τα διανύσματα $\vec a,\vec b$ εχουν συντελεστές διεύθυνσης τις ρίζες της (1)

να βρείτε το

ωστε τα $\vec a, \vec b$ να είναι συγγραμικά.

φιλικα και μαθηματικά
dennys

Χρηστος · #29

ΑΣΚΗΣΗ 13

Δίνονται τα διανύσματα $\vec{\alpha} =\left(\left|2x-1 \right|-5, 3\right)$ και $\vec{\beta }=\left(1+\left\left|1-2x \right|,7-\left|3-y \right| \right)$ με
$\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ .

Α) Αν τα διανύσματα $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ είναι αντίθετα τότε:
i) Να βρεθούν $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ .
ii) Να βρεθούν οι γωνίες των διανυσμάτων $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ με τον $\displaystyle{x'x}$ .
Β) Να εξετασθείαν υπάρχουν $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ ώστε η γωνία του διανύσματος $\vec{\beta}$ με τον $\displaystyle{x'x}$ να είναι $\displaystyle{\frac{3\pi }{4}}$ .

Γιώργος Απόκης · #30

Απλώς θυμίζω ότι προς λύση μένουν : 9,12,13

...

hlkampel · #31

dennys έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 12

1)Δίνεται η εξίσωση

A.Εστω οτι τα σημεία Α,Β, εχουν τεταγμένες τις ρίζες της (1) και το σημείο ,ειναι το μέσον του ΑΒ.

1) να βρείτε το m

2)Nα βρείτε το ωστε το διάνυσμα $\vec MO$ να σχηματίζει γωνία $300^{o}$ , με τον αξονα

Β. Αν τα διανύσματα $\vec a,\vec b$ εχουν συντελεστές διεύθυνσης τις ρίζες της (1)

να βρείτε το ωστε τα $\vec a, \vec b$ να είναι συγγραμικά. $\displaystyle{ φιλικα και μαθηματικά dennys</div></blockquote> Α. 1) Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι$ \Delta = 4{m^2} - 4m + 1 + 8m - 4 = 4{m^2} + 4m - 3\Delta \ge 0 \Leftrightarrow m \le - \frac{3}{4}m \ge 2{y_1},{y_2}ABVieta{y_1} + {y_2} = 2m - 1MA}, τότε:

${y_m} = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} \Leftrightarrow 3 = \frac{{2m - 1}}{2} \Leftrightarrow 2m - 1 = 6 \Leftrightarrow m = \frac{7}{2}$ δεκτή.

2) $\overrightarrow {MO} = \left( { - k, - 3} \right)$

Αν , τότε $\overrightarrow {MO} \bot x'x$ απορρίπτεται

Αν $k \ne 0$ η εφαπτομένη της γωνίας $\theta$ που σχηματίζει ο φορέας του $\overrightarrow {MO}$ με τον είναι:

$\varepsilon \varphi \theta = \frac{{ - 3}}{{ - k}} \Rightarrow \varepsilon \varphi 300^\circ = \frac{3}{k} \Rightarrow \varepsilon \varphi \left( {360^\circ - 60^\circ } \right) = \frac{3}{k} \Rightarrow \varepsilon \varphi \left( { - 60^\circ } \right) = \frac{3}{k} \Rightarrow$

$- \sqrt 3 = \frac{3}{k} \Rightarrow k = - \sqrt 3$

Β. Αν τα $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ είναι συγγραμμικά τότε οι συντελεστές διεύθυνσης τους είναι ίσοι, δηλαδή η εξίσωση (1) θα έχει διπλή ρίζα,

οπότε θα είναι $\Delta = 0$ , έτσι από Α ερώτημα $m = - \frac{3}{4}$ ή

Ηλίας Καμπελής