Ίσες συντεταγμένες

KARKAR · #1

: Ίσες συντεταγμένες.png (11.03 KiB) Προβλήθηκε 1246 φορές

Βρείτε τη σχέση μεταξύ των a,b

, ώστε οι συντεταγμένες του

να είναι ίσες .

margavare · #2

$A(a,0)\ B(b,0)\ G(0,1)\ S(s,s)$
Το σημείο

είναι μέσο του

. $K\left( \frac{s}{2},\frac{s+1}{2} \right)$
Το σημείο

ανήκει στη μεσοκάθετη του

$\frac{a+b}{2}=\frac{s}{2}$ . Άρα $K\left( \frac{a+b}{2},\frac{a+b+1}{2} \right)$

Ο κύκλος είναι
$\begin{array}{l} {\left( {x - \frac{{a + b}}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{a + b + 1}}{2}} \right)^2} = K{G^2} \Leftrightarrow \\ \\ {\left( {x - \frac{{a + b}}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{a + b + 1}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a + b + 1}}{2} - 1} \right)^2} \end{array}$

Το σημείο $A\left( a,0 \right)$ ανήκει στον παραπάνω κύκλο
$\begin{array}{l} {\left( {a - \frac{{a + b}}{2}} \right)^2} + {\left( {0 - \frac{{a + b + 1}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a + b + 1}}{2} - 1} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a + b + 1}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a + b - 1}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow \\ \\ {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a + b + 1} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a + b - 1} \right)^2} \Leftrightarrow \\ \\ {a^2} - 2ab + {b^2} + {a^2} + {b^2} + 1 + 2ab + 2a + 2b = {a^2} + 2ab + {b^2} + {a^2} + {b^2} + 1 + 2ab - 2a - 2b \Leftrightarrow 4a + 4b = 4ab \Leftrightarrow a + b = ab \end{array}$

#3

KARKAR έγραψε:
Ίσες συντεταγμένες.png
Βρείτε τη σχέση μεταξύ των , ώστε οι συντεταγμένες του να είναι ίσες .

$\left\{ \begin{gathered} a \cdot b\mathop = \limits^{\theta \varepsilon \omega \rho \eta \mu \alpha \,\,\tau \varepsilon \mu \nu o\mu \varepsilon \nu \omega \nu \,\,\chi o\rho \delta \omega \nu } 1 \cdot \left( {1 + s} \right) \\ \frac{{a + b}}{2}\mathop = \limits^{\tau \varepsilon \tau \mu \eta \mu \varepsilon \nu \eta \,\,\mu \varepsilon \sigma o\upsilon \,\,\tau \mu \eta \mu \alpha \tau o\varsigma } \frac{{1 + s}}{2} \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \ldots \boxed{a + b = ab}$

Στάθης

sakis1963 · #4

: GEOMETRIA Ίσες συντεταγμένες.png (12.37 KiB) Προβλήθηκε 1183 φορές

Καλησπέρα,
Από δύναμη σημείου

, έχουμε $OA \cdot OB=OC \cdot OD \Rightarrow \boxed{ab=a+b}$

Φιλικά και γεωμετρικά Σάκης

#5

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ίσες συντεταγμένες.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Βρείτε τη σχέση μεταξύ των , ώστε οι συντεταγμένες του να είναι ίσες .

Καλησπέρα.

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι s=a+b

. Από Π. Θ στα τρίγωνα CDS, AEK

, έχουμε:

: Ίσες συντεταγμένες.png (12.99 KiB) Προβλήθηκε 1144 φορές

$\displaystyle{4{R^2} = {(a + b)^2} + {(a + b - 1)^2}}$ και $\displaystyle{4{R^2} = {(b - a)^2} + {(a + b + 1)^2}}$ . Άρα:

$\displaystyle{{(a + b)^2} - {(b - a)^2} = {(a + b + 1)^2} - {(a + b - 1)^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{ab=a+b}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ίσες συντεταγμένες.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Βρείτε τη σχέση μεταξύ των , ώστε οι συντεταγμένες του να είναι ίσες .

Είναι $\displaystyle{BS \bot BC,AS \bot AC}$

$\displaystyle{\overrightarrow {BS} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow - b\left( {s - b} \right) + s = 0}$ και $\displaystyle{\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AS} = 0 \Rightarrow - \alpha \left( {s - \alpha } \right) + s = 0}$

Εύκολα έχουμε $\displaystyle{s = \alpha + b}$ και $\displaystyle{s = \alpha b}$ άρα $\displaystyle{s = \boxed{\alpha b = \alpha + b}}$

: συντεταγμένες.png (12.23 KiB) Προβλήθηκε 1071 φορές

KARKAR · #7

Ας συμπληρωθεί ότι αν a=1 , ( or ... b=1 )

τότε το πρόβλημα δεν έχει λύση ( αφού $b=\dfrac{a}{a-1}$ )

Ίσες συντεταγμένες

Ίσες συντεταγμένες

Re: Ίσες συντεταγμένες

Re: Ίσες συντεταγμένες

Re: Ίσες συντεταγμένες

Re: Ίσες συντεταγμένες

Re: Ίσες συντεταγμένες

Re: Ίσες συντεταγμένες

Μέλη σε σύνδεση