Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

KARKAR · #1

: Ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων.png (8.68 KiB) Προβλήθηκε 2686 φορές

Το σημείο

κινείται στο καρτεσιανό επίπεδο .Υπολογίστε το ελάχιστο του αθροίσματος :

SO^2+SA^2+SB^2

. Βγάλτε τα συμπεράσματά σας για τη θέση του σημείου

...

#2

KARKAR έγραψε:Ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων.pngΤο σημείο κινείται στο καρτεσιανό επίπεδο .Υπολογίστε το ελάχιστο του αθροίσματος :

. Βγάλτε τα συμπεράσματά σας για τη θέση του σημείου ...

: Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων.png (12.82 KiB) Προβλήθηκε 2610 φορές

$\displaystyle{S{O^2} + S{A^2} + S{B^2} = 3{x^2} + 3{y^2} - 2ax - 2by + {a^2} + {b^2} = }$

$\displaystyle{3\left( {{x^2} - \frac{{2a}}{3}x + \frac{{{a^2}}}{9}} \right) + 3\left( {{y^2} - \frac{{2b}}{3}x + \frac{{{b^2}}}{9}} \right) + \frac{2}{3}({a^2} + {b^2}) = }$

$\displaystyle{3{\left( {x - \frac{a}{3}} \right)^2} + 3{\left( {y - \frac{b}{3}} \right)^2} + \frac{2}{3}({a^2} + {b^2}) \ge \frac{2}{3}({a^2} + {b^2})}$

με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle{(x,y) = \left( {\frac{a}{3},\frac{b}{3}} \right)}$ . Σ' αυτή την περίπτωση το

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου OAB.

#3

KARKAR έγραψε:Ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων.pngΤο σημείο κινείται στο καρτεσιανό επίπεδο .Υπολογίστε το ελάχιστο του αθροίσματος :

. Βγάλτε τα συμπεράσματά σας για τη θέση του σημείου ...

Γενικότερα σε τυχαίο τρίγωνο ABC

(άλλαξα το σημείο

σε

) με κέντρο βάρους

έχουμε

$SA^2+SB^2+ SC^2 = \sum \vec {SA} \cdot \vec {SA } = \sum ( \vec {SG} + \vec {GA}) \cdot ( \vec {SG }+ \vec {GA})$

$= 3 \vec {SG }\cdot \vec {SG }+ 2\vec {SG} \cdot ( \vec {GA} + \vec {GB }+ \vec {GC}) + \sum \vec {GA} \cdot \vec {GA}$

$= 3 SG ^2 + 0 + \sum GA ^2 \ge \sum GA^2$

με ισότητα αν και μόνον αν SG=0

, δηλαδή το

να είναι στο κέντρο βάρους.

Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

Re: Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

Re: Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση