Γόνιμος τόπος

KARKAR · #1

: Γόνιμος τόπος.png (8.64 KiB) Προβλήθηκε 982 φορές

Πάνω στον ημιάξονα

, βρίσκεται σταθερό σημείο

. Θεωρούμε σημείο

του

, δεξιότερα του

και σημείο

της ημιευθείας $y=\lambda x , \lambda >0 , x>0$ , τέτοια ώστε : AT=OS=x

,

μεταβλητό .

Βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου , του μέσου

του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 22, 2021 1:42 pm
Γόνιμος τόπος.pngΠάνω στον ημιάξονα , βρίσκεται σταθερό σημείο . Θεωρούμε σημείο του , δεξιότερα του

και σημείο της ημιευθείας $y=\lambda x , \lambda >0 , x>0$ , τέτοια ώστε : , μεταβλητό .

Βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου , του μέσου του τμήματος .

: Γόνιμος τόπος.png (14.1 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές

Ας είναι $S(s,\lambda s)\,\,\,,\,\,T\left( {t,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,M\left( {x,y} \right)\,$ με : $s > 0\,\,,\,\,t > a > 0$ .

$OS = AT \Rightarrow s\sqrt {{\lambda ^2} + 1} = t - a\,\,\left( 1 \right)$ και $\left\{ \begin{gathered} x = \frac{{t + s}}{2} \hfill \\ y = \frac{{\lambda s}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} t = 2x - s \hfill \\ s = \frac{{2y}}{\lambda } \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} t = 2x - \frac{{2y}}{\lambda } \hfill \\ s = \frac{{2y}}{\lambda } \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Έτσι η $\left( 1 \right)$ δίδει: $\boxed{\lambda x - \left( {1 + \sqrt {{\lambda ^2} + 1} } \right)y - \frac{{a\lambda }}{2} = 0}$ ,

ημιευθεία με αρχή το μέσο

του

και μέσα στο πρώτο τεταρτημόριο .

Για $\lambda = 2$ η ευθεία έχει χρυσή κλίση.

#3

Αφού απαντήθηκε, ας τη δούμε και χωρίς Καρτέσιο.

: Γόνιμος τόπος.png (15.68 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

Φέρνω τη διχοτόμο $(\delta)$ της $S\widehat OT$ που τέμνει την

στο

και από το

την $\epsilon||\delta$ που τέμνει την

στο

Προφανώς οι ευθείες $(\delta), (\epsilon)$ είναι σταθερές. Λόγω της διχοτόμου και της παραλληλίας είναι:

$\displaystyle \frac{{SD}}{{DT}} = \frac{{OS}}{{OT}} = \frac{x}{{a + x}} =\dfrac{TA}{TO}= \frac{{ET}}{{DT}} \Leftrightarrow SD = ET.$ Άρα το

είναι μέσο και του DE.

Αν λοιπόν

είναι το μέσο του

τότε η ημιευθεία

(μεσοπαράλληλη των $(\delta), (\epsilon)$ ) είναι ο ζητούμενος τόπος.

$\displaystyle \bullet$ Αν τώρα θέλουμε και την Καρτεσιανή εξίσωση, τότε αν $\displaystyle \lambda = \tan \omega,$ ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας του τόπου

θα είναι $\displaystyle \tan \frac{\omega }{2}>0$ απ' όπου προκύπτει $\displaystyle \frac{{\sqrt {{\lambda ^2} + 1} - 1}}{2}.$ Άρα η εξίσωση είναι $\boxed{y = \frac{{\sqrt {{\lambda ^2} + 1} - 1}}{2}\left( {x - \frac{a}{2}} \right)}$

nickchalkida · #4

Επειδή η άσκηση άπτεται της φυσικής, δίνω και μία "φυσική" προσέγγιση.
Θεωρώ το κινητό

που ξεκινά από την αρχή των αξόνων κινούμενο με ευθύγραμμη ομαλή ταχύτητα

και συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$ ,
το κινητό

που ξεκινά από το σημείο (a,0)

κινούμενο επί του O_x

με ομαλή ταχύτητα v=u

και θα θεωρήσω δεδομένο ότι η κίνηση του μέσου των δύο κινητών είναι επίσης ευθύγραμμη και ομαλή. Είναι τότε

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \begin{aligned} & u_x = u\ \cos \theta = {u \over \sqrt{1+\lambda^2}} \cr & u_y = u\ \sin \theta = {u \lambda \over \sqrt{1+\lambda^2}} \cr \end{aligned} \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{aligned} & v_x = u \cr & v_y = 0 \cr \end{aligned} \cr \end{aligned} }$

η κίνηση τότε του μέσου

θα προσδιορίζεται από τις εξισώσεις

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \left. \begin{aligned} & x = (v_x + u_x)t + {a\over 2} = ( 1 + {1 \over \sqrt{1+\lambda^2}})ut + {a\over 2} \cr & y = (v_y + u_y)t = {u \lambda t \over \sqrt{1+\lambda^2}} \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow \begin{aligned} & x = ( 1 + {1 \over \sqrt{1+\lambda^2}}){y \over \lambda} \sqrt{1+\lambda^2} + {a\over 2} \cr & ut = {y \over \lambda} \sqrt{1+\lambda^2} \cr \end{aligned} \cr & \cr & \rightarrow x = {y \over \lambda}(1+\sqrt{1+\lambda^2})+ {a\over 2} \rightarrow x \lambda -y (1+\sqrt{1+\lambda^2}) = { \lambda a \over 2} \cr \end{aligned} }$

Γόνιμος τόπος

Γόνιμος τόπος

Re: Γόνιμος τόπος

Re: Γόνιμος τόπος

Re: Γόνιμος τόπος

Μέλη σε σύνδεση