Παραμετρικός τόπος

KARKAR · #1

: Παραμετρικός τόπος.png (5.1 KiB) Προβλήθηκε 912 φορές

$\bigstar$ Το σημείο

κινείται στον ημιάξονα

. Το σημείο

κινείται στον

, έτσι ώστε , αν : OA=a

,

να είναι : $OB=\sqrt{a}$ . Στο τμήμα

, επιλέγουμε σημείο

, ώστε : $BS=\lambda \cdot BA \: , 0<\lambda <1$ .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του

και την τιμή του $\lambda$ , για την οποία ο τόπος είναι η παραβολή : y=x^2

.

vgreco · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 03, 2021 11:44 am
Το σημείο κινείται στον ημιάξονα . Το σημείο κινείται στον , έτσι ώστε , αν : ,

να είναι : $OB=\sqrt{a}$ . Στο τμήμα , επιλέγουμε σημείο , ώστε : $BS=\lambda \cdot BA \: , 0<\lambda <1$ .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του και την τιμή του $\lambda$ , για την οποία ο τόπος είναι η παραβολή : .

: parametrikos_topos.png (83.21 KiB) Προβλήθηκε 641 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα που σχηματίζονται:

$\displaystyle{\dfrac{x}{\sqrt{a}} = 1 - \lambda \Leftrightarrow x = \sqrt{a} \cdot (1 - \lambda)}$

και:

$\displaystyle{ \dfrac{y}{a} = \lambda \Leftrightarrow a = \dfrac{y}{\lambda} }$

Όμως:

$\displaystyle{ x = \sqrt{a} \cdot (1 - \lambda) \Leftrightarrow x^2 = (1 - \lambda)^2 \cdot a \Leftrightarrow \boxed{y = \dfrac{\lambda}{(\lambda - 1)^2} \cdot x^2} }$

Είναι y = x^2

όταν $\lambda = (\lambda - 1)^2 \Leftrightarrow \lambda = \dfrac{3 \pm \sqrt5}{2}$ . Αλλά $\lambda < 1$ , κι έτσι $\boxed{\lambda = \dfrac{3 - \sqrt5}{2}}$ .

Παραμετρικός τόπος

Παραμετρικός τόπος

Re: Παραμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση