Περίκεντρο τριγώνου

NickSpanoudis · #1

Αν Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ με μήκη πλευρών ΑΒ=8 και ΑΓ=10 να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BC}$

abfx · #2

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 05, 2022 12:34 pm
...με μήκη πλευρών ΑΒ=8 και ΑΓ=10...

Μήπως δίνεται και η τρίτη πλευρά του τριγώνου;

NickSpanoudis · #3

Μπερδεύτηκα εννοούσα το εσωτερικό γινόμενο ΟΑ•ΒΓ.
(ΌΧΙ δεν δίνεται τρίτη πλευρά)

abfx · #4

Ας είναι

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του $\bigtriangleup ABC$ .

Στα τρίγωνα $\bigtriangleup AOB$ , $\bigtriangleup AOC$ με εφαρμογή νόμου συνημιτόνων έχουμε:

$8^2=2R^2-2\vec{OA}\cdot\vec{OB}$ και $10^2=2R^2-2\vec{OA}\cdot\vec{OC}$ και άρα

$\vec{OA}\cdot\vec{OB}=R^2-32$ και $\vec{OA}\cdot\vec{OC}=R^2-50$ .

Όμως $\vec{OA}\cdot\vec{BC}=\vec{OA}\cdot(\vec{OC}-\vec{OB})=\vec{OA}\cdot\vec{OC}-\vec{OA}\cdot\vec{OB}=R^2-50-R^2+32=-18$

που είναι το ζητούμενο.

#5

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 05, 2022 12:34 pm
Αν Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ με μήκη πλευρών ΑΒ=8 και ΑΓ=10 να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BC}$

: Περίκεντρο τριγώνου.png (24.24 KiB) Προβλήθηκε 1387 φορές

$\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OA} \cdot \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {AC}$

Άρα : $\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {BC} = R \cdot AB\cos \theta - R \cdot AC\cos \omega = 8R\dfrac{4}{R} - 10R\dfrac{5}{R} = 32 - 50 = - 18$

#6

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 05, 2022 6:49 pm

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 05, 2022 12:34 pm
Αν Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ με μήκη πλευρών ΑΒ=8 και ΑΓ=10 να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BC}$
Περίκεντρο τριγώνου.png

$\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OA} \cdot \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {AC}$

και αντικασθiστούμε, δηλαδή, Φίλε Νίκο, στα εσωτερικά γινόμενα το διάνυσμα ΑO με την προβολή του.

Παίρνουμε, τελικά $\frac{AB^2}{2}-\frac{AC^2}{2}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 05, 2022 12:34 pm
Αν Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ με μήκη πλευρών ΑΒ=8 και ΑΓ=10 να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BC}$

Με συντεταγμένες..

Επιλέγουμε σύστημα συντεταγμένων ,με x’x

άξονα το φορέα της

και

την μεσοκάθετη της

Με

είναι

άρα $\vec{BC} =(2c,0)$ κι έστω O(0,d)

και

οπότε $| \vec{BA} |^2=64$ $\Rightarrow (c+m)^2+n^2=64$ και $| \vec{AC} |^2=100$ $\Rightarrow (c-m)^2+n^2=100$

Αφαιρώντας από την δεύτερη την πρώτη έχουμε mc=-9

.

Τώρα, $\vec{OA}. \vec{BC} =2mc=-18$

: Περίκεντρο τριγώνου.png (16.04 KiB) Προβλήθηκε 1329 φορές

#8

NickSpanoudis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 05, 2022 12:34 pm
Αν Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ με μήκη πλευρών ΑΒ=8 και ΑΓ=10 να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BC}$

Έστω

διάμετρος και

μέσο του

Από τις καθετότητες είναι:

$\displaystyle \overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {OM} = 0$

: Περίκεντρο τριγώνου.png (14.89 KiB) Προβλήθηκε 1283 φορές

$\displaystyle \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CA} \Rightarrow {\overrightarrow {DB} ^2} + 64 = {\overrightarrow {DC} ^2} + 100$

$\displaystyle \left( {\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} } \right)\left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DB} } \right) = - 36 \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {DM} = - 18$

$\displaystyle \overrightarrow {BC} \left( {\overrightarrow {DO} + \overrightarrow {OM} } \right) = - 18\mathop \Rightarrow \limits^{\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {OM} = 0} \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {DO} = - 18 \Leftrightarrow$ $\boxed{\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {OA} = - 18}$

Περίκεντρο τριγώνου

Περίκεντρο τριγώνου

Re: Περίκεντρο τριγώνου

Re: Περίκεντρο τριγώνου

Re: Περίκεντρο τριγώνου

Re: Περίκεντρο τριγώνου

Re: Περίκεντρο τριγώνου

Re: Περίκεντρο τριγώνου

Re: Περίκεντρο τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση