Αθροισμα

Atemlos · #1

Εαν

$\displaystyle{\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = a}$ και $\displaystyle{\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right) = b}$

Να βρεθεί το $\displaystyle{{a^2} + {b^2}}$

#2

Γιώργος Απόκης · #3

Καλημέρα. Έχουμε

$\displaystyle{a=\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=\sqrt{2}\cos x}$ και

$\displaystyle{b=\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right) =-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=-\sqrt{2}\sin x} }$ επομένως

$\displaystyle{a^2+b^2=2\cos^2 x+2\sin^2 x=2}$

#4

Atemlos έγραψε:Εαν

$\displaystyle{\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = a}$ και $\displaystyle{\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right) = b}$

Να βρεθεί το $\displaystyle{{a^2} + {b^2}}$

Καλημέρα.

$\displaystyle{a = 2\cos \frac{\pi }{4}\cos x \Leftrightarrow a = \sqrt 2 \cos x,b = - 2\sin \frac{{3\pi }}{4}\sin x \Leftrightarrow b = - \sqrt 2 \sin x}$ (*)

Άρα: $\boxed{a^2+b^2=2}$

(*) Χρησιμοποιήθηκαν οι τύποι: $\displaystyle{\cos A + \cos B = 2\cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2}}$ και $\displaystyle{\cos A - \cos B = - 2\sin \frac{{A + B}}{2}\sin \frac{{A - B}}{2}}$

#5

Atemlos έγραψε:Εαν

$\displaystyle{\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = a}$ και $\displaystyle{\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right) = b}$

Να βρεθεί το $\displaystyle{{a^2} + {b^2}}$

Άλλη μία.

$\displaystyle{\frac{{3\pi }}{4} = \pi - \frac{\pi }{4} \Rightarrow b = \cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}$

$\displaystyle{{a^2} + {b^2} = 2\left[ {{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) + {{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}$

Αλλά, $\displaystyle{\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)} \right] = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)}$ , οπότε: $\boxed{a^2+b^2=2}$

#6

Είναι

$\displaystyle{ b = \cos{\left(x + \frac{3\pi}{4} \right)} - \cos{\left(\frac{3\pi}{4} - x \right)} = \sin{\left(x + \frac{5\pi}{4} \right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{4} - x \right)} = -\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{4} - x \right)}}$

Άρα $\displaystyle{ a+ib = e^{-i(x+\pi/4)} + e^{i(\pi/4-x)} }$ και $\displaystyle{ a-ib = e^{i(x+\pi/4)} + e^{-i(\pi/4-x)}. }$

Οπότε $a^2+b^2 =2 + e^{i\pi/2} + e^{-i\pi/2} = 2.$

Atemlos · #7

Σας ευχαριστώ για τις λύσεις.Εγω σκέφτηκα το εξής αφου προφανώς ισχυουν οι σχέσεις για όλα τα πραγματικά χ θα ισχυει και για χ=0 και ετσι απλοποιειται η κατάσταση νομίζω.

Γιώργος Απόκης · #8

Atemlos έγραψε:Σας ευχαριστώ για τις λύσεις.Εγω σκέφτηκα το εξής αφου προφανώς ισχυουν οι σχέσεις για όλα τα πραγματικά χ θα ισχυει και για χ=0 και ετσι απλοποιειται η κατάσταση νομίζω.

Αυτό θα ήταν σωστό αν είχαμε αρχικά δεδομένο ή αποδεικνύαμε με κάποιον τρόπο ότι η παράσταση $\displaystyle{a^2+b^2}$ είναι ανεξάρτητη του $\displaystyle{x}$

#9

Atemlos έγραψε:Σας ευχαριστώ για τις λύσεις.Εγω σκέφτηκα το εξής αφου προφανώς ισχυουν οι σχέσεις για όλα τα πραγματικά χ θα ισχυει και για χ=0 και ετσι απλοποιειται η κατάσταση νομίζω.

Απάντησε πληρέστατα ο Γιώργος αμέσως παραπάνω αλλά ας δούμε και άλλον ένα λόγο ότι δεν μπορεί να είναι σωστός ο συλλογισμός.

Πες ότι η άσκηση ζήταγε να δείξουμε ότι για κάθε

ισχύει $a^2+b^2 =2+ 2015 x^{4000}$ . Αν κάποιος έλεγε (αντιγράφω το παραπάνω, και συνεχίζω): Αφού προφανώς ισχύουν οι σχέσεις για όλα τα πραγματικά χ θα ισχύει και για χ=0. Για x=0

ελέγχω ότι τα δύο μέλη είναι ίσα. Πράγματι, 2=2

. Όπερ έδει δείξαι. Όχι βέβαια!

Αθροισμα

Αθροισμα

Re: Αθροισμα

Re: Αθροισμα

Re: Αθροισμα

Re: Αθροισμα

Re: Αθροισμα

Re: Αθροισμα

Re: Αθροισμα

Re: Αθροισμα

Μέλη σε σύνδεση