Καθετότητα

#1

Δίνεται τρίγωνο , με $A \Gamma=3 AB}$ . Τα σημεία $\Delta$ και

βρίσκονται στην πλευρά $A\Gamma$ έτσι, ώστε $A\Delta= \Delta E=E\Gamma$ .
Αν

είναι το μέσο του $B\Gamma$ , να αποδειχθεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα $M\Delta$ ,

είναι κάθετα.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 18, 2020 6:13 pm
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΓ=3ΑΒ. Τα σημεία Δ και Ε βρίσκονται στην πλευρά ΑΓ έτσι, ώστε ΑΔ=ΔΕ=ΕΓ.
Αν Μ είναι το μέσο του ΒΓ , να αποδειχθεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΔ, ΜΕ είναι κάθετα.

: 283.PNG (8.26 KiB) Προβλήθηκε 2071 φορές

Μία μετρική:

Από $\textrm{Stewart}$ είναι $ca^2+2c\cdot c^2=3c\cdot 2c\cdot c+3cBD^2\Leftrightarrow BD^2=\dfrac{a^2-4c^2}{3}$ .
Από το θεώρημα διαμέσων έχω
$DM^2=\dfrac{2\left ( BD^2+4c^2 \right )-a^2}{4}=..=\dfrac{16c^2-a^2}{12}$
Πάλι από το θεώρημα διαμέσου παίρνουμε
$ME^2=\dfrac{2\left ( MD^2+MC^2 \right )-4c^2}{4}=\dfrac{\dfrac{16c^2-a^2}{12}+\dfrac{3a^2}{12}-\dfrac{24c^2}{12}}{2}=..=\dfrac{a^2-4c^2}{12}$
Παρατηρούμε πως $MD^2+ME^2=\dfrac{16c^2-a^2}{12}+\dfrac{a^2-4c^2}{12}=\dfrac{12c^2}{12}=c^2=DE^2$ οπότε από το αντίστροφο πυθαγόρειο έχουμε το ζητούμενο.

apotin · #3

Αν $\displaystyle{Z}$ είναι το μέσον του $\displaystyle \Delta {\rm E}$ τότε είναι και μέσον της $\displaystyle {\rm A}\Gamma$ ,

οπότε $\displaystyle MZ = \frac{{AB}}{2} = \frac{{A\Gamma }}{6} = \frac{{\Delta E}}{2}$

Άρα η $\displaystyle{MZ}$ είναι διάμεσος του τριγώνου $\displaystyle M\Delta E$ και $\displaystyle MZ = \frac{{\Delta E}}{2}$ ,

οπότε το τρίγωνο $\displaystyle M\Delta E$ είναι ορθογώνιο με $\displaystyle M\Delta \bot ME$

: trig.png (3.67 KiB) Προβλήθηκε 2065 φορές

#4

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 18, 2020 6:13 pm
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΓ=3ΑΒ. Τα σημεία Δ και Ε βρίσκονται στην πλευρά ΑΓ έτσι, ώστε ΑΔ=ΔΕ=ΕΓ.
Αν Μ είναι το μέσο του ΒΓ , να αποδειχθεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΔ, ΜΕ είναι κάθετα.

: Καθετότητα.Κ.png (13.07 KiB) Προβλήθηκε 2037 φορές

Έστω

μέσο του

Τότε $AN\bot BD$ και τα ANMD, NMED

είναι παραλληλόγραμμα, απ' όπου προκύπτει το συμπέρασμα.

Christos.N · #5

: DeepinScreenshot_select-area_20200318200356.png (21.18 KiB) Προβλήθηκε 2016 φορές

Σχεδόν χωρίς λόγια, αν $A', \Delta', E'$ τα συμμετρικά ώς προς

τότε το $\Delta E \Delta' E'$ είναι ρόμβος, οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα.

#6

Καλησπέρα σε όλους. Και μια ακόμα για ποικιλία!

: 18-03-2020 Γεωμετρία.png (19.71 KiB) Προβλήθηκε 1951 φορές

Έστω $\displaystyle A\left( {0,0} \right),\;B\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi ,\;\eta \mu \varphi } \right),\;0 < \varphi < \pi ,\;\;\;C\left( {3,0} \right)$ οι κορυφές του τριγώνου και D(1,0), E(2,0)

.

Οπότε $\displaystyle M\left( {\frac{{\sigma \upsilon \nu \varphi + 3}}{2},\;\frac{{\eta \mu \varphi }}{2}} \right)$ και $\displaystyle \overrightarrow {DM} = \left( {\frac{{\sigma \upsilon \nu \varphi + 1}}{2},\;\frac{{\eta \mu \varphi }}{2}} \right),\;\;\overrightarrow {EM} = \left( {\frac{{\sigma \upsilon \nu \varphi - 1}}{2},\;\frac{{\eta \mu \varphi }}{2}} \right)$ .

Άρα $\displaystyle \overrightarrow {DM} \cdot \;\overrightarrow {EM} = \frac{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi - 1 + \eta {\mu ^2}\varphi }}{2} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {DM} \bot \overrightarrow {EM}$ .

KARKAR · #7

: Ορθότατη ορθή.png (9.41 KiB) Προβλήθηκε 1874 φορές

Η διχοτόμος

, της $\hat{A}$ , είναι κάθετη στην

και επιπλέον BS=SM=MT=TC

.

Οι προκύπτουσες παραλληλίες , δίνουν την ζητούμενη καθετότητα .

apotin · #8

Παραλλαγή της πρώτης μου λύσης

: trig2.png (7.8 KiB) Προβλήθηκε 1841 φορές

Στην προέκταση της $\displaystyle \Gamma {\rm A}$ παίρνουμε $\displaystyle AZ = A\Delta$

Τότε το τρίγωνο $\displaystyle ZB\Delta$ είναι ορθογώνιο στην γωνία $\displaystyle{B}$

Από τις παραλληλίες που φαίνονται προκύπτει το ζητούμενο.

STOPJOHN · #9

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 18, 2020 6:13 pm
Δίνεται τρίγωνο , με $A \Gamma=3 AB}$ . Τα σημεία $\Delta$ και βρίσκονται στην πλευρά $A\Gamma$ έτσι, ώστε $A\Delta= \Delta E=E\Gamma$ .
Αν είναι το μέσο του $B\Gamma$ , να αποδειχθεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα $M\Delta$ , είναι κάθετα.

Καλημέρα ,

Ειναι $ME//B\Delta$ ,αρκείνα δειχθεί οτι $B\Delta \perp M\Delta$

Προεκτείνω τις διαμέσους $EM,\Delta M$ ,κατα ίσα μήκη αντίστοιχα $ME',M\Delta '$

Οπότε απο τα παραλληλόγραμμα $BE\Gamma E',B\Delta \Gamma \Delta '$

εχουμε και το $AE\Delta 'B$ είναι παραλληλόγραμμο και $AB=\Delta 'E,E\Delta =E\Gamma =E\Delta '\Leftrightarrow \hat{\Delta \Delta '\Gamma }=90^{0}\Rightarrow \hat{B\Delta \Delta '}=90^{0}$

Christos.N · #10

Ας το ανοίξουμε αναλυτικά χωρίς το elegance του Γιώργου

: DeepinScreenshot_select-area_20200320141103.png (20.91 KiB) Προβλήθηκε 1822 φορές

Αν

το μέσον του $\Delta E$ αποδεικνύεται ότι

$\overrightarrow{MZ}=\overrightarrow{AB}$

όμως

$\left| \overrightarrow{MZ}\right|=\left| \overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{\Delta E} \right|$

Αρα το $\Delta Z E M$ ορθογώνιο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #11

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 18, 2020 6:13 pm
Δίνεται τρίγωνο , με $A \Gamma=3 AB}$ . Τα σημεία $\Delta$ και βρίσκονται στην πλευρά $A\Gamma$ έτσι, ώστε $A\Delta= \Delta E=E\Gamma$ .
Αν είναι το μέσο του $B\Gamma$ , να αποδειχθεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα $M\Delta$ , είναι κάθετα.

Με

συμμετρικό του

ως προς

, το

είναι το βαρύκεντρο του $\triangle BNC$

Άρα $DZ=ME= \dfrac{BD}{2}$ και $ZE=DM= \dfrac{DN}{2}$ και ZM=AB=DE

συνεπώς

ορθογώνιο παραλ/μμο.

: Καθετότητα.png (25.65 KiB) Προβλήθηκε 1789 φορές

#12

Σας ευχαριστώ όλους θερμότατα για την ποικιλία λύσεων που ανεβάσατε.
Και σε μια άλλη ομάδα που δημοσίευσα το σύνδεσμο δόθηκαν πάρα πολλές και ενδιαφέρουσες λύσεις.
https://www.facebook.com/photo.php?fbid ... ater&ifg=1
Αυτό ακριβώς έχω στο μυαλό μου όταν δημοσιεύω μια άσκηση,
Να είστε καλά.

Καθετότητα

Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση