Σύνολο μιγαδικών

komi · #1

Έστω a,b μιγαδικοί με $\displaystyle{\left| a \right| = \left| b \right| = \left| {a - b} \right| = 1}$ .
Να προσδιορίσετε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου

$\displaystyle{M = \left\{ {z \in C\left| {{a^2} {z^{2n}}} \right. + a b {z^n} + {b^2} = 0 \wedge \left| z \right| = 1} \right\}}$

$\displaystyle{n \in N}$

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Έγινε μετάφραση ξένου όρου.

mathxl · #2

Αργκχχ πάτησα κατά λάθος το google και χάθηκε η λύση...ξαναπληκτρολογώ...

Η προσπάθεια μου σε πράγματα που έχω χρόνια να ασχοληθώ, λοιπόν...
Είναι
$\displaystyle{\left| a \right| = \left| b \right| = \left| {a - b} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\frac{a}{b}} \right| = 1 = \left| {\frac{a}{b} - 1} \right|}$

άρα ο $\displaystyle{{\frac{a}{b}}}$ ανήκει στον κύκλο $\displaystyle{\left( {{\rm O},1} \right)}$ και την μεσοκάθετο του $\displaystyle{{\rm O}{\rm A}}$
, όπου $\displaystyle{{\rm A}\left( {1,0} \right)}$ που έχει εξίσωση $\displaystyle{x = \frac{1}{2}}$

Άρα $\displaystyle{\frac{a}{b} = \frac{1}{2} \pm i\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \left( { \pm \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { \pm \frac{\pi }{3}} \right)}$

Επίσης έχουμε
$\displaystyle{{a^2}{z^{2n}} + ab{z^n} + {b^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a{z^n}}}{b}} \right)^2} + \left( {\frac{{a{z^n}}}{b}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a{z^n}}}{b}} \right)^3} = 1 \wedge \frac{{a{z^n}}}{b} \ne 1 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{a{z^n}}}{b} = \cos \left( { \pm \frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( { \pm \frac{{2\pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow {z^n} = \frac{{\cos \left( { \pm \frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( { \pm \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{\cos \left( { \pm \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { \pm \frac{\pi }{3}} \right)}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{z^n} = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3} \vee \cos \left( { - \pi } \right) + i\sin \left( { - \pi } \right) \vee \cos \left( \pi \right) + i\sin \left( \pi \right) \vee \cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{z = \cos \frac{{2k\pi + \frac{\pi }{3}}}{n} + i\sin \frac{{2k\pi + \frac{\pi }{3}}}{n} \vee \cos \left( {\frac{{2k\pi + \pi }}{n}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2k\pi + \pi }}{n}} \right) \vee \cos \left( {\frac{{2k\pi - \frac{\pi }{3}}}{n}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2k\pi - \frac{\pi }{3}}}{n}} \right)}$

με $\displaystyle{k = 0,1,2,...,n - 1}$
άρα έχουμε $\displaystyle{3n}$ λύσεις

Με μπόλικη επιφύλαξη

parmenides51 · #3

mathxl έγραψε:Αργκχχ πάτησα κατά λάθος το google και χάθηκε η λύση...ξαναπληκτρολογώ...
...

Καλησπέρα
ενημερωτικά και στον firefox και στον chrome
αν γράψεις κάτι σε μια σελίδα και κατά λάθος πας σε άλλη σελίδα
με επιστροφή (back) ή αλλιώς ένα βελάκι προς τα αριστερά (το έχει κάπου πάνω αριστερά)
σε επαναφέρει στην προηγούμενη σελίδα όπου έχουν αποθηκευτεί προσωρινά
όσα έχεις γράψει ωσότου κλείσει o browser,
ώστε να μην χάνονται εύκολα δεδομένα πληκτρολογημένα στον browser.

Φιλικά

Υ.Γ. Δεν γνωρίζω κατά πόσο γίνεται το ίδιο με τον internet explorer γιατί δεν τον χρησιμοποιώ.

Σύνολο μιγαδικών

Σύνολο μιγαδικών

Re: Σύνολο μιγαδικών

Re: Σύνολο μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση