Πόσες φορές

#1

Γράφουμε τους φυσικούς αριθμούς από το $\displaystyle{1}$ μέχρι το $\displaystyle{10000}$ , τον έναν κάτω από τον άλλο.
Να γράψετε με όσο το δυνατόν σύντομο τρόπο, έναν συλλογισμό που θα απαντήσει στο παρακάτω ερώτημα:
"Πόσες φορές θα εμφανιστεί το διψήφιο τμήμα που παριστάνει τον αριθμό 21;"

Nikitas K. · #2

Αν το τμήμα

εμφανίζεται συνολικά

φορές, τότε, λόγω του αριθμού 2121

θα ισχύει:

$\displaystyle n-1=\underline{ \overline{ \underbrace{ \overbrace{ 10 \left\{\begin{matrix} 10 \left\{\begin{matrix} 0~0~21 \\ 0~1~21 \\ \vdots \\ 0~9~21 \end{matrix}\right. \\ 10 \left\{\begin{matrix} 1~0~21 \\ 1~1~21 \\ \vdots \\ 1~9~21 \end{matrix}\right. \\ \vdots \\ 10 \left\{\begin{matrix} 9~0~21 \\ 9~1~21 \\ \vdots \\ 9~9~21 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.}}}}+ \underline{\overline{\underbrace{\overbrace{ 10 \left\{\begin{matrix} 10 \left\{\begin{matrix} 0 ~21~ 0 \\ 0~ 21~ 1 \\ \vdots \\ 0 ~21~ 9 \end{matrix}\right. \\ 10 \left\{\begin{matrix} 1~ 21 ~0 \\ 1 ~21~ 1 \\ \vdots \\ 1 ~21~ 9 \end{matrix}\right. \\ \vdots \\ 10 \left\{\begin{matrix} 9~ 21~ 0 \\ 9~ 21 ~1 \\ \vdots \\ 9~ 21~ 9 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.}}}}+\underline{\overline{\underbrace{\overbrace{10 \left\{\begin{matrix} 10 \left\{\begin{matrix} 21~0~0 \\ 21~0~1 \\ \vdots \\ 21~0~9 \end{matrix}\right. \\ 10 \left\{\begin{matrix} 21~1~0 \\ 21~1~1 \\ \vdots \\ 21~1~9 \end{matrix}\right. \\ \vdots \\ 10 \left\{\begin{matrix} 21~9~0 \\ 21~9~1 \\ \vdots \\ 21~9~9 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.}}}} = 3\cdot 10^2 \Leftrightarrow \fbox{n = 301}$

*Στα παραπάνω σύνολα παρουσιάζεται κατακόρυφα η αναγραφή των στοιχείων τους, αλλά και ο πληθικός αριθμός αυτών.

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 02, 2025 6:40 am
Γράφουμε τους φυσικούς αριθμούς από το $\displaystyle{1}$ μέχρι το $\displaystyle{10000}$ , τον έναν κάτω από τον άλλο.
Να γράψετε με όσο το δυνατόν σύντομο τρόπο, έναν συλλογισμό που θα απαντήσει στο παρακάτω ερώτημα:
"Πόσες φορές θα εμφανιστεί το διψήφιο τμήμα που παριστάνει τον αριθμό 21;"

Λίγο διαφορετικά:

***Μονοψήφιοι που να περιέχουν το $\displaystyle{21}$ , φυσικά δεν υπάρχουν

***Διψήφιοι είναι μόνο το $\displaystyle{21}$ , άρα υπάρχει ένας μόνο διψήφιος

***Τριψήφιοι είναι οι αριθμοί: $\displaystyle{121,221, ... , 921}$ , καθώς επίσης και οι $\displaystyle{210 , 211 , ... , 219}$

Άρα υπάρχουν $\displaystyle{9+10 =19}$ αριθμοί τριψήφιοι.

***Τετραψήφιοι

Κάθε τετραψήφιος αριθμός έχει την μορφή ΧΑΒΓ . Για κάθε τιμή του ψηφίου των χιλιάδων Χ, τα υπόλοιπα ψηφία , περιέχουν τον
αριθμό $\displaystyle{21}$ όπως πιο πάνω είδαμε $\displaystyle{19+1 = 20}$ φορές. Και αφού το Χ παίρνει $\displaystyle{9}$ τιμές (από $\displaystyle{1}$ έως $\displaystyle{9}$ ), άρα θα
υπάρχουν $\displaystyle{9 . 20 =180}$ αριθμοί.

Εκτός όμως από αυτούς τους $\displaystyle{180}$ τετραψήφιους, υπάρχουν και οι εξής αριθμοί:(για Χ= $\displaystyle{2}$ και Α= $\displaystyle{1}$ )

$\displaystyle{2100 , 2101 , 2102 , ... , 2199}$ , δηλαδή $\displaystyle{100}$ αριθμοί.

Εδώ όμως θέλει λίγο προσοχή, να παρατηρήσουμε ότι από τους πιο πάνω αριθμούς, υπάρχει ο $\displaystyle{2121}$ , ο οποίος περιέχει

τον $\displaystyle{21}$ δύο φορές. Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί στην περίπτωση αυτή δεν είναι $\displaystyle{100}$ , αλλά $\displaystyle{101}$

Έτσι, όλοι οι τετραψήφιοι είναι $\displaystyle{180 + 101 =281}$ .

Συμπέρασμα: Οι αριθμοί που τελικά ζητάμε είναι στο πλήθος

-Μονοψήφιοι : $\displaystyle{0}$
-Διψήφιοι : $\displaystyle{1}$
-Τριψήφιοι: $\displaystyle{19}$
-Τετραψήφιοι: $\displaystyle{281}$

Σύνολο: $\displaystyle{301}$

Πόσες φορές

Πόσες φορές

Re: Πόσες φορές

Re: Πόσες φορές

Μέλη σε σύνδεση