Μόνο ένα τέλειο τετράγωνο

#1

Να δικαιολογήσετε με όσο το δυνατόν πιο σύντομο τρόπο, γιατί ένας μόνο από όλους τους τριψήφιους αριθμούς που είναι τέλεια
τετράγωνα, περιέχει τα ψηφία $\displaystyle{1}$ και $\displaystyle{3}$ .

Nikitas K. · #2

Οι πιθανοί τριψήφιοι της εκφώνησης είναι τα τετράγωνα των $11, 12, \dots, 30$ αφού 10^2=100, 31^2 = 961

και

Απορρίπτονται τα τετράγωνα των 11, 12, 14, 15, 17

και

διότι είναι 121, 144, 196, 225, 289

και

αντίστοιχα, άρα απορρίπτονται και τα τετράγωνα των

και

Δεκτό είναι το τετράγωνο του

που είναι

Οι υπόλοιποι έχουν τουλάχιστον

εκατοντάδες.
Το τετράγωνο κάθε μονοψήφιου δεν έχει

μονάδες.
Το τετράγωνο των

και

έχει

μονάδα.

Αρκεί να ελεγχθούν μόνο τα τετράγωνα των

και

που είναι

και

αντίστοιχα· απορρίπτονται. $\blacksquare$

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 04, 2025 8:13 am
Να δικαιολογήσετε με όσο το δυνατόν πιο σύντομο τρόπο, γιατί ένας μόνο από όλους τους τριψήφιους αριθμούς που είναι τέλεια
τετράγωνα, περιέχει τα ψηφία $\displaystyle{1}$ και $\displaystyle{3}$ .

Ας το δούμε και λίγο διαφορετικά;

Οι αριθμοί που ζητάμε , πρέπει να έχουν μία από τις παρακάτω μορφές:

$\displaystyle{31x , 13x , 3x1 , x31}$ , αφού οι μορφές $\displaystyle{1x3 , x13}$ απορρίπτονται, διότι κανένα τέλειο τετράγωνο δεν μπορεί να λήγει σε $\displaystyle{3}$ .

(α) Εξετάζουμε τον $\displaystyle{31x}$ και τον $\displaystyle{3x1}$

Παρατηρούμε ότι: $\displaystyle{17^2<310\leq 31x\leq 319 <20^2}$ και $\displaystyle{17^2 <301\leq 3x1 \leq 391 <20^2}$

Οι πιθανοί λοιπόν αριθμοί των μορφών αυτών, είναι $\displaystyle{18^2 = 324}$ και $\displaystyle{19^2 = 361}$

Από τους δύο παραπάνω αριθμούς, μας κάνει μόνο ο $\displaystyle{361}$ .

(β) Εξετάζουμε τον $\displaystyle{13x}$ .

Παρατηρούμε ότι: $\displaystyle{11^2 <130\leq 13x\leq 139 <12^2}$

Συνεπώς αριθμοί της μορφής αυτής δεν μπορούν να είναι τέλεια τετράγωνα, αφού είναι ανάμεσα σε δύο διαδοχικά τετράγωνα.

(γ). Εξετάζουμε τον $\displaystyle{x31}$ .

Έστω ότι υπάρχει $\displaystyle{k}$ φυσικός αριθμός, ώστε να είναι $\displaystyle{x31 = k^2}$ . Συνεπώς ο $\displaystyle{k}$ θα είναι περιττός.

Άρα $\displaystyle{k=2m+1}$ , $\displaystyle{m\in N}$ .

Άρα $\displaystyle{x31 =(2m+1)^2 \Rightarrow 100x+30+1=(2m+1)^2}$

(Επειδή η άσκηση αφορά μαθητές Α Γυμνασίου, βρίσκουμε το $\displaystyle{(2m+1)^2 =(2m+1)(2m+1)=(2m+1)(2m)+(2m+1).1= 4m^2 +2m+2m+1 =4m^2 +4m +1 }$

Άρα έχουμε: $\displaystyle{100x+31=4m^2 +4m +1 \Rightarrow 100x+30=4(m^2 +m)\Rightarrow 25x+\frac{15}{2}= m^2 +m}$

Η παραπάνω σχέση όμως είναι αδύνατη αφού το δεύτερο μέλος είναι φυσικός αριθμός, ενώ το πρώτο όχι.

Τελικά, ο μόνος τριψήφιος από αυτούς που ζητάμε είναι ο $\displaystyle{361}$ .

Μόνο ένα τέλειο τετράγωνο

Μόνο ένα τέλειο τετράγωνο

Re: Μόνο ένα τέλειο τετράγωνο

Re: Μόνο ένα τέλειο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση