Aς φτιάξουμε επαναληπτικά θέματα!!!

parmenides51 · #21

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:15. Σε μια τάξη τα κορίτσια είναι διπλάσια από τα αγόρια. Μια μέρα ήρθαν στην τάξη 8 κορίτσια ακόμα και τότε διαπιστώσαμε ότι τα αγόρια ήταν το 1/3 των κοριτσιών. Πόσα αγόρια έχει η τάξη;

έστω $\displaystyle{x}$ ο αριθμός των αγορίων,
τότε $\displaystyle{2x}$ θα είναι ο αριθμός των κοριτσιών

αν έρθουν $\displaystyle{8}$ κορίτσια τότε θα έχουμε $\displaystyle{2x + 8}$ κορίτσια
και θα συνεχίσουμε να έχουμε $\displaystyle{x }$ αγόρια

αφού τα αγόρια είναι το $\displaystyle{\frac{1}{3} }$ των κοριτσιών, τα κορίτσια θα είναι τριπλάσια των αγοριών

οπότε τα κορίτσια θα είναι $\displaystyle{3x}$

δηλαδή $\displaystyle{2χ+8 =3x}$

δηλαδή $\displaystyle{2x+8 = 2x +x}$

δηλαδή $\displaystyle{x=8}$

άρα τα αγόρια αρχικά θα είναι $\displaystyle{x=8}$ και τα κορίτσια $\displaystyle{2x=2\cdot 8=16}$

επαλήθευση (προαιρετική αλλά καλό να γίνεται)
αν έρθουν $\displaystyle{8}$ κορίτσια , τα κορίτσια θα γίνουν $\displaystyle{16+8=24 = 3 \cdot 8}$ οπότε τα αγόρια θα είναι το $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ των κοριτσιών

Υ.Γ. Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις 2 , 4 , 8, 9, 10, 11

parmenides51 · #22

Γιώργος Ρίζος έγραψε: $\boxed{9}$
Ξεκινήσαμε μια διαδρομή με το αυτοκίνητο με γεμάτο το ντεπόζιτο της βενζίνης. Έχουμε διανύσει τα 2/3 της διαδρομής και ο δείχτης της βενζίνης δείχνει ότι έχει μείνει το 1/4 της βενζίνης. Θα φτάσει η βενζίνη για την υπόλοιπη διαδρομή;
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Θεωρούμε ομοιόμορφη την κατανάλωση της βενζίνης σ' όλη τη διαδρομή.
Προσαρμογή εκφώνησης από Pisa 2000

Χωρίς να αλλάζει κάτι, για ευκολία δική μας υποθέτουμε ότι η απόσταση είναι $\displaystyle{300}$ χιλιόμετρα.

Τα $\displaystyle{\frac{2}{3}}$ της διαδρομής είναι $\displaystyle{\frac{2}{3}\cdot 300= \frac{600}{3}=200}$ χιλιόμετρα.

Τα $\displaystyle{200}$ χιλιόμετρα τα διανύσαμε με σταθερή κατανάλωση με τα $\displaystyle{\frac{3}{4}=3 \cdot \frac{1}{4}}$ της βενζίνης,

οπότε για το $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ των $\displaystyle{200}$ χιλιομέτρων δηλαδή $\displaystyle{\frac{1}{3}\cdot 200=\frac{200}{3}\simeq 66,67}$ χιλιόμετρα θέλουμε το $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ της βενζίνης

δηλαδή η βενζίνη που έχουμε μας φτάνει μόνο για $\displaystyle{66,67}$ χιλιόμετρα περίπου,

ενώ εμείς έχουμε άλλα $\displaystyle{100}$ χιλιόμετρα για να φτάσουμε στον προορισμό μας

άρα δεν θα μας φτάσει η βενζίνη.

Γιώργος Ρίζος έγραψε: $\boxed{10}$
Σε έναν αγώνα σκοποβολής έχουμε πετύχει το στόχο 78 φορές στις 105 βολές. Συνολικά θα ρίξουμε 150 βολές.
i)Σε πόσες ακόμα πρέπει να ευστοχήσουμε από τις υπόλοιπες, ώστε να προκριθούμε, αν το όριο είναι να πετύχουμε τουλάχιστον στο 60% των βολών;
ii)Τι ποσοστό έχουμε πετύχει μέχρι τώρα;
iii) Τι ποσοστό πρέπει να πετύχουμε στις υπόλοιπες βολές;

i) στις $\displaystyle{100}$ βολές θέλουμε το λιγότερο $\displaystyle{60}$ για να έχουμε το λιγότερο $\displaystyle{60\%}$

άρα στις μισές, στις $\displaystyle{50}$ βολές θα θέλουμε το λιγότερο $\displaystyle{30}$ (πάλι τις μισές) για να έχουμε το λιγότερο $\displaystyle{60\% }$

οπότε (προσθέτωντας) στις $\displaystyle{100+50=150}$ βολές θέλουμε το λιγότερο $\displaystyle{60+30=90}$ για να έχουμε το λιγότερο $\displaystyle{60\% }$

και αφού έχουμε ήδη πετύχει $\displaystyle{78}$ βολές μας μένουν $\displaystyle{90-78=12}$ βολές επιτυχημένες το λιγότερο για να πιάσουμε το λιγότερο $\displaystyle{60\% }$

ii) αφού έχουμε $\displaystyle{78}$ επιτυχημένες βολές στις $\displaystyle{105}$ προσπάθειες

έχουμε ποσοστό επιτυχίας $\displaystyle{ \frac{78}{105}\cdot 100 \%= \frac{7800}{105} \simeq 78,24\%}$

iii) στις υπόλοιπες $\displaystyle{150-105=45}$ βολές πρέπει να πετύχουμε τουλάχιστον τις $\displaystyle{12}$

οπότε θέλουμε ποσοστό επιτυχίας το λιγότερο $\displaystyle{ \frac{12}{45}\cdot 100 \%= \frac{1200}{45} \simeq 26,67\%}$

Γιώργος Ρίζος έγραψε: $\boxed{11}$

Ένα μηχάνημα που πουλιέται 2.400 € παίρνει νέα τιμή 2.500 € και ένα άλλο από 2.300 € αυξάνεται σε 2.400 €. Το ποσοστό της αύξησης των τιμών τους είναι ή όχι ίδιο; Γιατί;

Είναι το ίδιο σαν ποσό της αύξησης αλλά διαφορετικό σαν ποσοστό αύξησης γιατί αναφέρεται σε διαφορετική αρχική τιμή.

Δεν είναι το ίδιο γιατί το φτηνότερο μηχάνημα παίρνει αύξηση $\displaystyle{2.500-2.400=100}$ € σε αρχικό ποσό $\displaystyle{2.400}$ € δηλαδή $\displaystyle{\frac{100}{2.400}\cdot 100 \%=\frac{100}{24}\%}$

ενώ το ακριβότερο μηχάνημα παίρνει αύξηση $\displaystyle{2.400-2.300=100}$ € σε αρχικό ποσό $\displaystyle{2.300}$ € δηλαδή $\displaystyle{\frac{100}{2.300}\cdot 100 \%=\frac{100}{23}\% }$

και προφανώς $\displaystyle{ \frac{100}{24}\% \ne \frac{100}{23}\% }$

Υ.Γ. Άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις 2 , 4 , 8

leftgavr · #23

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:4. (Θα εντυπωσιάσει τα "πρωτάκια", αφού δεν έχουν ιδέα από ταυτότητες): Να γράψετε έναν δικό σας τριψήφιο περιττό αριθμό και ύστερα να ονομάσετε x το ψηφίο των εκατοντάδων και y το ψηφίο των μονάδων.
(α) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης:

$A=(x+40)^{2}+2(y+20)^{2}-80(x+y)-(x^{2}+2y^{2})-389$

(β) Να εξηγήσετε (χωρίς να κάνετε την διαίρεση) γιατί ο αριθμός Α που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα, δεν διαιρείται με το 3 ούτε με το 2 ούτε με το 5.

Ιωάννου Δημήτρης

(α) Αν υποθέσουμε πως ο τριψήφιος, περιττός αριθμός είναι το 563

τότε τον

μπορούμε να τον βρούμε:

$A=(x+40)^{2}+2(y+20)^{2}-80(x+y)-(x^{2}+2y^{2})-389=$

$=(5+40)^{2}+2(3+20)^{2}-80(5+3)-(5^{2}+2 \cdot 3^{2})-389=$

$=45^{2}+2 \cdot 23^{2}-80 \cdot 8-(25+2 \cdot 9)-389=$

$=2025+2 \cdot 529-640-(25+18)-389=$

=2025+1058-640-43-389=

(β) Ο

δεν διαιρείται ακριβώς με το

διότι δεν τελειώνει σε 0,2,4,6,8

.

Δεν διαιρείται ακριβώς ούτε με το

αφού το άθροισμα των ψηφίων του δεν διαιρείται από το

ακριβώς

.

Δεν διαιρείται ακριβώς ούτε με το

επειδή το τελευταίο ψηφίο του δεν είναι ούτε

ούτε

.

leftgavr · #24

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:2. Δίνεται ένα αμβλυγώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση την ΑΓ. Η μεσοκάθετος της πλευράς ΒΓ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε. Αν η γωνία ΑΒΕ είναι ορθή,
(α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ

(β) (Για τους δυνατούς λύτες) Από τα σημεία Α και Γ φέρνουμε τις ημιευθείες Αχ και Γψ ώστε να είναι γων.ΒΑχ=γων.ΒΑΓ και Γψ//ΕΒ. Αν οι ημιευθείες αυτές τέμνονται στο σημείο Δ, να εξηγήσετε γιατί θα πρέπει η ευθεία ΔΒ να είναι διχοτόμος της γωνίας Δ του τριγώνου ΑΔΓ.

Ιωάννου Δημήτρης

: Κατ.PNG (16.01 KiB) Προβλήθηκε 489 φορές

(α) ${\hat{BEA}={\hat{ZE\Gamma}$ αφού ${\hat{BEA},{\hat{ZE\Gamma}=180-90-{\hat{BAE}$
Άρα ${\hat{BEZ}={\hat{BE\Theta}={\hat{ZE\Gamma}=180:2=60$

$\Theta B \parallel EZ$
${\hat{ZEB}=\Theta BE$ ως εντός εναλλάξ γωνίες.

$BE\Gamma=\Theta B\zeta$ ως εντός εναλλάξ γωνίες.
Άρα ${\hat{BEZ}={\hat{BE\Theta}={\hat{ZE\Gamma}=180:3=60$
${\hat{Z\Gamma} {\hat{E=BA\Theta}=180-90-60=30 \Rightarrow {\hat{AB\Gamma}=180-30-30=120$ .

(β) Στο τρίγωνο $EB\Theta: {\hat{\Theta EB}=60, {\hat{BE\Theta}=60 \Rightarrow {\hat{B\Theta E}=60 \Rightarrow {\hat{A\Theta B}=120$

Στο τρίγωνο $AB\Theta: {\hat{AB\Theta}=180-(30+120)=30$
${\hat{\Delta AB}=30 \Rightarrow {\hat{\Delta AB}={\hat{AB\Theta}=30$ και αφού είναι εντός εναλλάξ των ευθύγραμμων τμημάτων $DA,\Theta B \Rightarrow DA \parallel \Theta B$ .
${\hat{\Delta A\Gamma}=2 \cdot 30=60$

${\hat{BEA}=\Delta \Gamma E=60$ ως εντός εκτός επί τα αυτά γωνίες.
Άρα και ${\hat{\Delta}=60$
${\hat{HBK}={\hat{BK\Delta}=120$ ως εντός εναλλάξ.

$A\Theta\Lambda\Delta$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Άρα $\Delta=A\Theta=\Theta B=BE=E\Gamma$
$\Delta KE\Gamma$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Άρα $K\Delta=E\Gamma \Rightarrow K\Delta=\Delta\Lambda$

Οπότε το τρίγωνο $K\Delta\Lambda$ είναι ισόπλευρο.
Έτσι η διαγώνιος του σχήματος $KB\Delta\Lamba$ διχοτομεί την γωνία ${\hat{BK\Delta}$ άρα το σχήμα $KB\Lambda\Delta$ είναι ρόμβος.

Έτσι η διαγώνιος του ρόμβου $B\Delta$ διχοτομεί την γωνία ${\hat{\Delta}$ .

Aς φτιάξουμε επαναληπτικά θέματα!!!

Re: Aς φτιάξουμε επαναληπτικά θέματα!!!

Re: Aς φτιάξουμε επαναληπτικά θέματα!!!

Re: Aς φτιάξουμε επαναληπτικά θέματα!!!

Re: Aς φτιάξουμε επαναληπτικά θέματα!!!

Μέλη σε σύνδεση