Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Tolaso J Kos · #1

Να αποδειχθεί ότι για $0^\circ \leq x \leq 180^\circ$ είναι
$\displaystyle{-2 < \sin x + \cos x < 2}$

glinos · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 26, 2018 8:31 pm
Να αποδειχθεί ότι για $0^\circ \leq x \leq 180^\circ$ είναι
$\displaystyle{-2 < \sin x + \cos x < 2}$

Είναι $-1\leq sinx\leq 1$ και $-1\leq cosx\leq 1$ , οπότε με πρόσθεση κατά μέλη των δύο ανισοτήτων παίρνουμε $-2\leq sinx+cosx\leq 2$ . Για να ισχύει μία ισότητα πρέπει $sinx=cosx=\pm 1$ .Όμως αυτό είναι άτοπο αφού εάν $sinx=cosx\Leftrightarrow x=45^{\circ}\Leftrightarrow sinx=cosx=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\neq \pm 1$ , άρα -2< sinx+cosx< 2

Απορία:Γιατί πρέπει να ισχύει $0\leq x\leq 180?$

Christos.N · #3

glinos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 26, 2018 9:13 pm
Απορία:Γιατί πρέπει να ισχύει $0\leq x\leq 180?$

Θες να δείξεις το $\displaystyle - 1 \leqslant \sin x + \cos x < 2$ ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Εγώ πάντως θα έγραφα

$(\sin x+\cos x)^{2}=(\sin x)^{2}+(\cos x)^{2}+2\sin x\cos x\leq 1+2=3$

Αρα $-2< -\sqrt{3}\leq \sin x+\cos x\leq \sqrt{3}< 2$

AlexandrosG · #5

Επίσης $(\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=1+\sin 2x \leq 2$ και άρα $-\sqrt{2}\leq \sin x+\cos x\leq \sqrt{2}$ .

Tolaso J Kos · #6

Πολύ ωραίες προσεγγίσεις.

glinos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 26, 2018 9:13 pm
Απορία:Γιατί πρέπει να ισχύει $0\leq x\leq 180?$

Γιατί στη Γ Γυμνασίου μέχρι εκεί ξέρουν τα παιδιά τις γωνίες.

Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Re: Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Re: Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Re: Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Re: Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Re: Ανισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Μέλη σε σύνδεση