Πάνω από 1, κάτω από 2

[Mihalis_Lambrou]

Δείξτε ότι σε κάθε κυρτό πολύγωνο το άθροισμα των διαγωνίων του είναι μεγαλύτερο από την περίμετρό του αλλά μικρότερο από το διπλάσιο της περιμέτρου του.

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Κάνει και για μικρότερες τάξεις).

[Mihalis_Lambrou]

Ανοικτή σε όλους.

[Mihalis_Lambrou]

Δείξτε ότι σε κάθε κυρτό πολύγωνο το άθροισμα των διαγωνίων του είναι μεγαλύτερο από την περίμετρό του αλλά μικρότερο από το διπλάσιο της περιμέτρου του.

.
Για τυπογραφική ευκολία το κάνω για πεντάγωνα, αλλά προσαρμόζεται για όλα τα πολύγωνα.

α)


...


Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

β) (Δεξί σχήμα)



...


Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε . To δεύτερο είναι το μήκος της κόκκινης τεθλασμένης γραμμής, το οποίο είναι μικρότερο από το άθροισμα των διαγωνίων.
.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Δείξτε ότι σε κάθε κυρτό πολύγωνο το άθροισμα των διαγωνίων του είναι μεγαλύτερο από την περίμετρό του αλλά μικρότερο από το διπλάσιο της περιμέτρου του.

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Κάνει και για μικρότερες τάξεις).

Μιχάλη, μήπως υπάρχει κάποιο τυπογραφικό;
Π.χ στο κυρτό τετράπλευρο, το άθροισμα των διαγωνίων του είναι ανάμεσα στην ημιπερίμετρο και στην περίμετρο του.

(Πιθανολογώ ότι δεν μπορείς να δεις τα προσωπικά μου μηνύματα. Γιατί σου έχω στείλει δύο φορές και δεν πρέπει να τα έχεις δει. Ενώ εγώ,
τα δικά σου τα βλέπω. Τηλ. 2226054846)

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Δείξτε ότι σε κάθε κυρτό πολύγωνο το άθροισμα των διαγωνίων του είναι μεγαλύτερο από την περίμετρό του αλλά μικρότερο από το διπλάσιο της περιμέτρου του.

.
Για τυπογραφική ευκολία το κάνω για πεντάγωνα, αλλά προσαρμόζεται για όλα τα πολύγωνα.

α)


...


Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

β) (Δεξί σχήμα)



...


Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε . To δεύτερο είναι το μήκος της κόκκινης τεθλασμένης γραμμής, το οποίο είναι μικρότερο από το άθροισμα των διαγωνίων.
.

Μόλις τώρα είδα την λύση.

Φαίνεται, ότι στο τετράπλευρο η ανισότητα είναι πιο ισχυρή, όχι όμως στο οποιοδήποτε κυρτό πολύγωνο
(Στο (α) υπάρχει ένα μικρό τυπογραφικό στην τελευταία ανισότητα)

[Mihalis_Lambrou]

(Στο (α) υπάρχει ένα μικρό τυπογραφικό στην τελευταία ανισότητα)

Δημήτρη, ευχαριστώ. Το διόρθωσα. Να 'σαι καλά.