Τέλεια τετράγωνα

#1

Να βρείτε όλους τους ακεραίους αριθμούς που είναι τέτοιοι ώστε αν σε αυτούς προσθέσουμε το

ή αφαιρέσουμε το

, προκύπτουν τέλεια τετράγωνα ακεραίων.

Ηλιας Φραγκάκος · #2

Το

είναι ένας από τους ζητούμενους. Σκέφτηκα ως εξής:
Η διαφορά ανάμεσα στο ένα τέλειο τετράγωνο και στο άλλο πρέπει να είναι

. Ξέρουμε ότι (x+1)^2 = x^2+2x+1

Άρα η διαφορά ανάμεσα σε δύο διαδοχικά τέλεια τετράγωνα είναι περιττός. Αφού το

είναι άρτιος, τότε οι ρίζες των δύο τέλειων τετραγώνων πρέπει να έχουν άρτια διαφορά. Ας κοιτάξουμε την περίπτωση οι ρίζες των δύο τέλειων τετραγώνων να έχουν διαφορά

.
Σύμφωνα με την ταυτότητα που είπα πιο πριν
(x+2)^2 = x^2+2x+1 + 2(x+1)+1⇒

Άρα το μικρότερο τέλειο τετράγωνο είναι

, κι έτσι ένας από τους ζητούμενους είναι το

.
Πάμε στην περίπτωση η διαφορά των ριζών των τέλειων τετραγώνων να είναι

:

Πράγμα αδύνατον. Λογικά συμπεραίνω ότι το ίδιο θα συμβαίνει και με μεγαλύτερες διαφορές.
Άρα η μοναδική απάντηση είναι

.

T-Rex · #3

Συμφωνώ με τον Ηλία,
βάζω και εγώ την γνώμη μου
$x+13=k^{2}$
$x-3=d^{2}$
Τα αφαιρούμε κατά μέλη οπότε:
$16=k^{2}-d^{2}\Leftrightarrow 16= \left(k+d \right).\left(k-d \right)$
Από εδώ παίρνουμε το

και το

.??

Ηλιας Φραγκάκος · #4

Γεια σου φίλε Παοκτζή. Δεν έβαλα το

επειδή δε μπορούμε να πούμε οτι το τετράγωνο του μηδέν είναι μηδέν. Αλλά, πάλι, γιατί ο θεματοθέτης έγραψε να βρούμε ΤΟΥΣ αριθμούς; Μας τρόλαρε;

#5

Ηλιας Φραγκάκος έγραψε:Γεια σου φίλε Παοκτζή. Δεν έβαλα το επειδή δε μπορούμε να πούμε οτι το τετράγωνο του μηδέν είναι μηδέν. Αλλά, πάλι, γιατί ο θεματοθέτης έγραψε να βρούμε ΤΟΥΣ αριθμούς; Μας τρόλαρε;

Καλημέρα Ηλία και Τ-Rex .

Ηλία, το τετράγωνο του μηδενός, είναι μηδέν. Γενικά, ισχύει $\displaystyle{0^{n}=0}$ , για κάθε $\displaystyle{n > 0}$ .

(Ίσως θυμάσαι ότι εκείνο που δεν μπορούμε να πούμε είναι ότι $\displaystyle{0^0 =0}$ , ή ότι το μηδέν σε αρνητικό εκθέτη είναι μηδέν.)

Τέλεια τετράγωνα

Τέλεια τετράγωνα

Re: Τέλεια τετράγωνα

Re: Τέλεια τετράγωνα

Re: Τέλεια τετράγωνα

Re: Τέλεια τετράγωνα

Μέλη σε σύνδεση