Τριγωνομετρική ταυτότητα ( Ι )

Tolaso J Kos · #1

Κοιτούσαμε με τα παιδιά την παρακάτω άσκηση. Τη βρήκαν υπερβολικά δύσκολη.

Έστω $0^\circ \leq \omega \leq 180^\circ$ με $\omega \neq 90^\circ$ μία γωνία. Αποδείξατε ότι:
$\displaystyle{\frac{\left | \cos \omega \right |}{\sqrt{1+\tan^2 \omega}} + \frac{\left | \sin \omega \right |}{\sqrt{1+\dfrac{1}{\tan^2 \omega}}} = 1}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 09, 2018 10:28 pm
Κοιτούσαμε με τα παιδιά την παρακάτω άσκηση. Τη βρήκαν υπερβολικά δύσκολη.

Έστω $0^\circ \leq \omega \leq 180^\circ$ με $\omega \neq 90^\circ$ μία γωνία. Αποδείξατε ότι:
$\displaystyle{\frac{\left | \cos \omega \right |}{\sqrt{1+\tan^2 \omega}} + \frac{\left | \sin \omega \right |}{\sqrt{1+\dfrac{1}{\tan^2 \omega}}} = 1}$

Τα' χεις τσακίσει τα παιδιά Τόλη

Το πρώτο μέλος γράφεται: $A=\dfrac{{|\cos \omega |}}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\omega } }} + \dfrac{{|\sin \omega |}}{{\dfrac{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\omega } }}{{|\tan \omega |}}}} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\omega } }}\left( {|\cos \omega | + |\sin \omega | \cdot |\tan \omega |} \right)$

Αλλά, $\displaystyle 1 + {\tan ^2}\omega = 1 + \dfrac{{{{\sin }^2}\omega }}{{{{\cos }^2}\omega }} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\omega }} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {{\tan }^2}\omega } = \dfrac{1}{{|\cos \omega |}} \Leftrightarrow |\cos \omega | = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\omega } }}$

$\displaystyle A = |\cos \omega |\left( {|\cos \omega | + |\sin \omega | \cdot |\tan \omega |} \right) = {\cos ^2}\omega + |\cos \omega \sin \omega \frac{{\sin \omega }}{{\cos \omega }}| = {\cos ^2}\omega + {\sin ^2}\omega = 1$

Tolaso J Kos · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 10, 2018 9:12 am

Τα' χεις τσακίσει τα παιδιά Τόλη

Γιώργο ,

τόσο αυτή η άσκηση όσο και αυτή εδώ βρίσκονται στο βιβλίο του Παπαδάκη στις ασκήσεις που απαιτούν ιδιαίτερη σκέψη. Συνήθως αφήνω τα παιδιά να τις δουλέψουν λίγο μόνα τους και στη συνέχεια τους δίνω υποδείξεις ή τις βλέπουμε μαζί αν όντως πρόκειται για αρκετά δύσκολη άσκηση.

Παρά τη δυσκολία που αντιμετωπίζουν συνήθως απολαμβάνουν τις ασκήσεις αυτές και ίσως να διδάσκονται και κάτι καινούργιο που δεν έχουμε δει στις πιο απλές ασκήσεις που έχουμε λύσει.

Tolaso J Kos · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 09, 2018 10:28 pm
Κοιτούσαμε με τα παιδιά την παρακάτω άσκηση. Τη βρήκαν υπερβολικά δύσκολη.

Έστω $0^\circ \leq \omega \leq 180^\circ$ με $\omega \neq 90^\circ$ μία γωνία. Αποδείξατε ότι:
$\displaystyle{\frac{\left | \cos \omega \right |}{\sqrt{1+\tan^2 \omega}} + \frac{\left | \sin \omega \right |}{\sqrt{1+\dfrac{1}{\tan^2 \omega}}} = 1}$

Όσο για την άσκηση , αφού ευχαριστήσω το Γιώργο για τη λύση , διακρίναμε περιπτώσεις:

Αν η γωνία $0^\circ \leq \omega < 90^\circ$ οπότε απελευθερωθήκαμε από τα απόλυτα.
Αν η γωνία $90^\circ < \omega \leq 180^\circ$ οπότε και πάλι απελευθερωθήκαμε από τα απόλυτα.

Έχω πει στα παιδιά για τα πρόσημα των ημιτόνων , συνημιτόνων όταν κάναμε τις σχέσεις των παραπληρωματικών γωνιών.

Αυτό βέβαια που κατάλαβα στο τέλος ήταν όταν τα παιδιά δεν έχουν καταλάβει πότε να διακρίνουν περιπτώσεις παρά τις αρκετές ασκήσεις που έχουμε συνολικά επιλύσει σε όλα τα κεφάλαια όπου χρειαζόταν περιπτώσεις.

Υ.Σ: Βέβαια , ο Γιώργος έλυσε την άσκηση κατευθείαν χωρίς διάκριση περιπτώσεων. Μπράβο Γιώργο.

mathfinder · #5

Τα απόλυτα , που δυσκολεύουν στη Γ΄ γυμνασίου, τα διώχνουμε κι έτσι :
$\frac{\left | cosx \right |}{\sqrt{1+tan^{2}x}}+\frac{\left | sinx \right |}{\sqrt{1+\frac{1}{tan^{2}x}}}=\sqrt{\frac{cos^{2}x}{1+tan^{2}x}}+\sqrt{\frac{sin^{2}x}{1+\frac{1}{tan^{2}x}}}=$
$=\sqrt{\frac{cos^{2}x}{1+\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}}}+\sqrt{\frac{sin^{2}x}{1+\frac{cos^{2}x}{sin^{2}x}}}=\sqrt{\frac{cos^{4}x}{sin^{2}x+cos^{2}x}}+\sqrt{\frac{sin^{4}x}{sin^{2}x+cos^{2}x}}=sin^{2}x+cos^{2}x=1$

Αθ. Μπεληγιάννης

Tolaso J Kos · #6

mathfinder έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 10, 2018 11:43 am
Τα απόλυτα , που δυσκολεύουν στη Γ΄ γυμνασίου, τα διώχνουμε κι έτσι :
$\frac{\left | cosx \right |}{\sqrt{1+tan^{2}x}}+\frac{\left | sinx \right |}{\sqrt{1+\frac{1}{tan^{2}x}}}=\sqrt{\frac{cos^{2}x}{1+tan^{2}x}}+\sqrt{\frac{sin^{2}x}{1+\frac{1}{tan^{2}x}}}=$
$=\sqrt{\frac{cos^{2}x}{1+\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}}}+\sqrt{\frac{sin^{2}x}{1+\frac{cos^{2}x}{sin^{2}x}}}=\sqrt{\frac{cos^{4}x}{sin^{2}x+cos^{2}x}}+\sqrt{\frac{sin^{4}x}{sin^{2}x+cos^{2}x}}=sin^{2}x+cos^{2}x=1$

Αθ. Μπεληγιάννης

Πολύ ωραίο ... !!

Τριγωνομετρική ταυτότητα ( Ι )

Τριγωνομετρική ταυτότητα ( Ι )

Re: Τριγωνομετρική ταυτότητα ( Ι )

Re: Τριγωνομετρική ταυτότητα ( Ι )

Re: Τριγωνομετρική ταυτότητα ( Ι )

Re: Τριγωνομετρική ταυτότητα ( Ι )

Re: Τριγωνομετρική ταυτότητα ( Ι )

Μέλη σε σύνδεση