ΑΣΚΗΣΗ

Απάντηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Matteo: Δημοσιεύσεις: 18; Εγγραφή: Κυρ Οκτ 16, 2016 7:56 pm

ΑΣΚΗΣΗ

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Matteo » Δευ Ιαν 30, 2017 3:41 pm

Έστω συνάρτηση $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ με f(a)=f(b)=0

και $f\prime\prime(x)>0$ $\forall$ $x\in[a,b]$ . Να δειχθέι ότι f(x)<0

$\forall$ $x\in(a,b)$ .

Λύση:
Αφού $f\prime\prime(x)>0$ $\forall$ $x\in[a,b]$ $\Leftrightarrow$ $f\prime(x)\uparrow$ $\forall$ $x\in[a,b]$

$\bullet$ Η

είναι συνεχής στο [a,b]

ως παραγωγίσιμη.
$\bullet$ Η

είναι παραγωγίσιμη στο (a,b)

ως δυο φορές παραγωγίσιμη.
$\bullet$ f(a)=f(b)=0

Άρα από το θεώρημα του Rolle

$\exists$ ένας τουλάχιστον $x_{0}\in(a,b): f\prime(x_{0})=0$
Και εφόσον η $f\prime(x)\uparrow$ $\forall$ $x\in[a,b]$ o $x_{0}$ θα είναι μοναδικός.

$\bullet$ Για $x<x_{0}$ έχουμε:
$f\prime(x)<f\prime(x_{0})$ $\Leftrightarrow$
$f\prime(x)<0$
Άρα $f(x)\downarrow$ $x\in[a,x_{0}]$

$\bullet$ Για $x>x_{0}$ έχουμε:
$f\prime(x)>f\prime(x_{0})$ $\Leftrightarrow$
$f\prime(x)>0$
Άρα $f(x)\uparrow$ $x\in[x_{0},b]$

$\rhd$ Για $x\in[a,x_{0}]:$
$a<x<x_{0}$ $\Leftrightarrow$
$f(a)>f(x)>f(x_{0})$
$0>f(x)>f(x_{0})$
Άρα f(x)<0