Άσκηση Άγεβρας πάνω στα κριτήρια διαιρετότητας

[Antonis_Halkiadakis]

Δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί παλαιότερα. Άν ένας αριθμός αορίστων ψηφίων διαιρείται δια του 3, τότε και το άθροισμα των ψηφίων του θα διαιρείτε δια του 3.

[CosCo]

Ούτε γω ξέρω άμα έχει ξανασυζητηθεί...

Έστω a ο αριθμός μας. Τότε a=k*10^n+l*10^(n-1)+...+m*10^1+n*10^0
Από ισοϋπόλοιπα ξέρεις; Αν ναι τότε 10^j=1mod9, πράμα εύγλωττο! Αν όχι τότε δες ότι 10^j = (9+1)^j=...{επαγωγή}... = 1+πολ9, οπότε a=k*10^n+l*10^(n-1)+...+m*10^1+n*10^0 = k*(1+πολ9)+l*(1+πολ9)+...+m*(1+πολ9)+n = H*πολ9+(k+l+...+m+n). Άρα αν 9/a τότε 9/(k+l+...+m+n) και αντιστρόφως φυσικά!

Έγραψα για το 9 κι όχι για το 3, μιας και είναι ισχυρότερη συνθήκη... Αντίστοιχη απόδειξη είναι και για το 11. Εκεί (a=k*10^n+l*10^(n-1)+h*10^(n-2)+d*10^(n-3)+...) 11/a αν-ν 11/(k-l+h-d+e-...)

[Mihalis_Lambrou]

Δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί παλαιότερα. Άν ένας αριθμός αορίστων ψηφίων διαιρείται δια του 3, τότε και το άθροισμα των ψηφίων του θα διαιρείτε δια του 3.

Θα το βρείς σε σχεδόν όλα τα βιβλία Θεωρίας Αριθμών. Ισχύει και το αντίστροφο.

Ακολουθεί μία εφαρμογή του παραπάνω, για σένα Αντώνη:

Γράφουμε έναν δεκαψήφιο αριθμό.
Με τα ίδια ψηφία (ανακατωμένα), γράφουμε έναν δεύτερο δεκαψήφιο.
Δείξε ότι η διαφορά των δύο αυτών αριθμών είναι πολλαπλάσιο του 3.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

[Stavroulitsa]

Αντώνη, κάτι που μου άρεσε βρήσκεται εδώ και εδώ.
Και μια άλλη απόδειξη (αλλά δεν ξέρω αν είναι σωστή...) είναι:
Ξέρουμε πως για κάθε ακέραιο αριθμό ισχύει:
δηλαδή αν από έναν αριθμό αφαιρέσουμε το άθροισμα των ψηφίων του τότε το αποτέλεσμα θα είναι πολλαπλάσιο του 9 και αποδεικνύεται ως εξής:

και αφού η διαφορά τους είναι πολλαπλάσιο του 9, τότε αν a+b+c είναι πολλαπλάσιο του 9 θα είναι και ο ίδιος αριθμός πολλαπλάσιο του 9.
ΥΓ. Κύριε Λάμπρου αν δε σας είναι κόπος μπορείτε να πείτε αν είναι σωστή η σκέψη μου;

[CosCo]

Κάνεις χρήση της 9/(10^ν-1). Αυτό συμβαίνει και στις άλλες αποδείξεις.
Μια άλλη απόδειξη αυτού πέραν της επαγωγής που ανέφερα είναι με το διωνυμικό ανάπτυγμα του (9+1)^ν