τύπος του cauchy

#1

Καλησπέρα σας...Στο βιβλίο του ο Τοm Apostol λέει:
α) Αν f,g συνεχείς στο [α,β],να αποδείξετε με τον τύπο του Cauchy,οτι για κάποιο c στο (α,β) είναι

\displaystyle
g(c)\int\limits_a^\beta {f(t)dt = f(c)\int\limits_a^\beta {g(t)dt} }
$\displaystyle{.(ως εδώ,όλα καλά) β)Αν$ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadEgacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGHGj
% sUcaaIWaaaaa!3763!
$\displaystyle g(t) \ne 0 }$ για κάθε t στο (α,β) χρησιμοποιήστε το α) για να δείξετε ότι:

\displaystyle
\int\limits_a^\beta {f(t)g(t)dt = f(c)\int\limits_a^\beta {g(t)dt} }
$\displaystyle{ για κάποιο c στο (α,β).Το ερώτημα μου είναι$ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadEgacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGHGj
% sUcaaIWaaaaa!3763!
$\displaystyle g(t) \ne 0 }$ ή % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadEgacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGH+a
% GpcaaIWaaaaa!36A4!

\displaystyle
g(t) > 0

;;

#2

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα σας...Στο βιβλίο του ο Τοm Apostol λέει:
α) Αν f,g συνεχείς στο [α,β],να αποδείξετε με τον τύπο του Cauchy,οτι για κάποιο c στο (α,β) είναι
\displaystyle
g(c)\int\limits_a^\beta {f(t)dt = f(c)\int\limits_a^\beta {g(t)dt} }
$\displaystyle{.(ως εδώ,όλα καλά) β)Αν$ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadEgacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGHGj
% sUcaaIWaaaaa!3763!
$\displaystyle g(t) \ne 0 }$ για κάθε t στο (α,β) χρησιμοποιήστε το α) για να δείξετε ότι:
\displaystyle
\int\limits_a^\beta {f(t)g(t)dt = f(c)\int\limits_a^\beta {g(t)dt} }
$\displaystyle{ για κάποιο t στο (α,β).Το ερώτημα μου είναι$ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadEgacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGHGj
% sUcaaIWaaaaa!3763!
$\displaystyle g(t) \ne 0 }$ ή \displaystyle
g(t) > 0
;;

Χρήστο,

To g(x) =/= 0 μας κάνει: Εφαρμόζουμε το (α) στις F(x) = f(x)g(x) και G(x) = g(x).
Στο τελευταίο βήμα θα χρειαστεί να διαιρέσεις δια g(c).

Πίστεύω ότι αν απόδείξεις το (β) στην ειδική περίπτωση g(x) > 0 βγαίνει ούτως ή άλλως ως πόρισμα το γενικό: Αν g(x) =/= 0 στο ανοικτό (α,β) τότε χωρίς βλάβη g(x) > 0 στο ανοικτό.

Φιλικά,

Μιχάλης.

#3

Ευχαριστώ κυριε Λάμπρου...Απλά είχα κολλήσει με το g(χ)>0,γιατί επιχειρούσα να το αποδείξω με θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής για την f στο [α,β] και μου ήταν αναγκαίο (το g(x)>0)...

τύπος του cauchy

τύπος του cauchy

Re: τύπος του cauchy

Re: τύπος του cauchy

Μέλη σε σύνδεση