Απορία σε δυνάμεις

manousos · #1

Καλησπέρα

,
έχω μία απορία σχετικά με ακέραιες δυνάμεις πραγματικών αριθμών. Γιατί όταν υψώνουμε κάποιον αριθμό στην μηδενική δύναμη ισούται με ένα και γιατί οι πραγματικοί αριθμοί υψωμένοι σε αρνητικές δυνάμεις λειτουργούν έτσι όπως λειτουργούν; Έχω δει κάτι "αποδείξεις" αλλά δεν μου φαίνονται πολύ πειστικές... Έτσι όπως το βλέπω εγώ πρόκειται για έναν εξαιρετικά βολικό ορισμό... Θα ήθελα την γνώμη σας πάνω σε αυτό το θέμα.

Edit : διόρθωση έκφρασης.

#2

manousos έγραψε:Καλησπέρα ,
έχω μία απορία σχετικά με ακέραιες δυνάμεις πραγματικών αριθμών. Γιατί όταν υψώνουμε κάποιον αριθμό στην μηδενική δύναμη ισούται με ένα και γιατί οι αρνητικές δυνάμεις λειτουργούν έτσι όπως λειτουργούν; Έχω δει κάτι "αποδείξεις" αλλά δεν μου φαίνονται πολύ πειστικές... Έτσι όπως το βλέπω εγώ πρόκειται για έναν εξαιρετικά βολικό ορισμό... Θα ήθελα την γνώμη σας πάνω σε αυτό το θέμα.

Για να καταλάβουμε και εμείς, σε ποιο ακριβώς σημείο οι "αποδείξεις" που διάβασες δεν ειναι πειστικές; Υποθέτω ότι μελέτησες το σχολικό βιβλίο. Υπάρχει ένσταση σε αυτά που γράφει; Ρώτησες τον Καθηγητή σου;

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #3

manousos έγραψε:Καλησπέρα ,
έχω μία απορία σχετικά με ακέραιες δυνάμεις πραγματικών αριθμών. Γιατί όταν υψώνουμε κάποιον αριθμό στην μηδενική δύναμη ισούται με ένα και γιατί οι αρνητικές δυνάμεις λειτουργούν έτσι όπως λειτουργούν; Έχω δει κάτι "αποδείξεις" αλλά δεν μου φαίνονται πολύ πειστικές... Έτσι όπως το βλέπω εγώ πρόκειται για έναν εξαιρετικά βολικό ορισμό... Θα ήθελα την γνώμη σας πάνω σε αυτό το θέμα.

To $\displaystyle a^0 =1 , a\neq 0$ , αποτελεί ορισμό. Αυτό που ονομάζεις “απόδειξη” μάλλον είναι η εξήγηση του γιατί ο παραπάνω ορισμός είναι επιβεβλημένος. Ακόμη, νομίζω ότι χρειάζεται να ξεκαθαρίσεις μερικές έννοιες. Π.χ. τι σημαίνει “αρνητικές δυνάμεις”;

manousos · #4

Καλημέρα,
συγνώμη για την ασάφεια.
Το σχολικό βιβλίο δεν περιέχει κάποια απόδειξη σχετικά με το θέμα. Οι "αποδείξεις" για τις οποίες γίνεται λόγος τις έχω βρει στο internet και είναι τύπου:
$\displaystyle{1 = \frac{a^{n}}{a^{n}} = a^{n-n} = a^{0}}$

$\displaystyle{\forall a \neq 0 , a^{n} = a^{n-1}a \Leftrightarrow a^{n} = \frac{a^{n+1}}{a}}$
Έτσι για n = 0 έχουμε : $\displaystyle{a^{0} = a^{-1}a \Leftrightarrow a^{0} = \frac{a}{a} = 1}$

NIZ έγραψε:
manousos έγραψε:Καλησπέρα ,
έχω μία απορία σχετικά με ακέραιες δυνάμεις πραγματικών αριθμών. Γιατί όταν υψώνουμε κάποιον αριθμό στην μηδενική δύναμη ισούται με ένα και γιατί οι αρνητικές δυνάμεις λειτουργούν έτσι όπως λειτουργούν; Έχω δει κάτι "αποδείξεις" αλλά δεν μου φαίνονται πολύ πειστικές... Έτσι όπως το βλέπω εγώ πρόκειται για έναν εξαιρετικά βολικό ορισμό... Θα ήθελα την γνώμη σας πάνω σε αυτό το θέμα.

To $\displaystyle a^0 =1 , a\neq 0$ , αποτελεί ορισμό. Αυτό που ονομάζεις “απόδειξη” μάλλον είναι η εξήγηση του γιατί ο παραπάνω ορισμός είναι επιβεβλημένος. Ακόμη, νομίζω ότι χρειάζεται να ξεκαθαρίσεις μερικές έννοιες. Π.χ. τι σημαίνει “αρνητικές δυνάμεις”;

Εννοούσα πραγματικούς αριθμούς υψωμένους σε αρνητικές δυνάμεις, το διόρθωσα ευχαριστώ. Επίσης για το $\displaystyle{0^{0}}$ από όσο γνωρίζω εγώ και τα κομπιούτερακια ισούται με 1 , π.χ : https://www.google.gr/webhp?sourceid=ch ... -8#q=0%5E0
Γράφημα για τη συνάρτηση x^0 :
https://www.google.gr/webhp?sourceid=ch ... -8#q=x%5E0

Α.Αποστόλου · #5

manousos έγραψε:Καλημέρα,
συγνώμη για την ασάφεια.
Το σχολικό βιβλίο δεν περιέχει κάποια απόδειξη σχετικά με το θέμα.

Το βιβλίο δεν έχει απόδειξη γιατί τα έχει δώσει με ορισμό αυτά στα οποία αναφέρεσαι.
Τα εισαγωγικά του κ.Λάμπρου στην λέξη απόδειξη, μάλλον μπαίνουν για να ψάξεις το βιβλίο να δείς τι ακριβώς γράφει.
Επίσης θα πρέπει να θυμάσαι πως ο ορισμός δίνεται πρίν απο τις ιδιότητες.

Οι ιδιότητες πρέπει να ικανοποιούν τον ορισμό.

manousos έγραψε: Οι "αποδείξεις" για τις οποίες γίνεται λόγος τις έχω βρει στο internet και είναι τύπου:
$\displaystyle{1 = \frac{a^{n}}{a^{n}} = a^{n-n} = a^{0}}$

σε αυτό, αλλά και στο επόμενο που έχεις γράψει, σκέψου τι τιμές μπορεί να πάρει το ν.
Για να βοηθήσω κάπως, ισχύει το γραφόμενο για κάθε ν; Το γιατί είναι αυτό που ψάχνουμε.

ενημέρωση:

manousos έγραψε: Επίσης για το \displaystyle{0^{0}} από όσο γνωρίζω εγώ και τα κομπιούτερακια ισούται με 1 , π.χ :

Εσύ (και εγώ και όλοι μας) δεν εκτελείς τις πράξεις όπως τις εκτελεί ένα κομπιουτεράκι.
Οι πράξεις γίνονται με διαφορετικό τρόπο (τρόπους).
Μιας και έβαλες το google calculator, δοκίμασε σε απλό κομπιουτεράκι να κάνεις την πράξη $3\cdot \frac{1}{3}$
και δες ότι δεν θα γράψουν το ίδιο αποτέλεσμα.

Δοκίμασε επίσης αντίστοιχα την πράξη ένα διά μηδέν. Έχουμε μάθει ότι ούτε αυτή ορίζεται.

Τώρα ειδικότερα με το 0^0

για τα σχολικά μαθηματικά μας είναι αρκετό ότι δεν ορίζεται.
Απο εκεί και πέρα μπορείς να φτιάξεις σύστημα στο οποίο το 0^0

να ισούται είτε με 0 είτε με 1
(η περίπτωση να μην μπορεί να δώσει αποτέλεσμα είναι "κακή" από άποψης προγραμματισμού, άλλο κεφάλαιο)
Στην υλοποίηση για τα "κομπιουτεράκια" (για διάφορους λόγους) επιλέγεται να ισούται με μονάδα.

manousos · #6

Σας ευχαριστώ πολύ

Απορία σε δυνάμεις

Απορία σε δυνάμεις

Re: Απορία σε δυνάμεις

Re: Απορία σε δυνάμεις

Re: Απορία σε δυνάμεις

Re: Απορία σε δυνάμεις

Re: Απορία σε δυνάμεις

Μέλη σε σύνδεση