Απόσταση Δύο Τριγώνων στον Τρισδιάστατο Χώρο

[Karelis Panagiotisq]

Καλησπέρα,
έχω σχεδιάσει μια ρουτίνα για τον υπολογισμό της Ευκλείδειας απόστασης δύο τριγώνων στον τρισδιάστατο χώρο, όμως δυσκολεύομαι να αποδείξω την ορθότητα της με μαθηματικά. Αυτή η ρουτίνα χρησιμοποιείται στη διπλωματική μου για την επίλυση ενός άλλου προβλήματος.

Ορισμός προβλήματος:
Έστω τα τρίγωνα και στον .
Η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ των τριγώνων και ορίζεται ως:

όπου με συμβολίζεται η Ευκλείδεια απόσταση των σημείων και .

Θεωρούμε αρχικά πως τα τρίγωνα δεν τέμνονται.
Η ρουτίνα που έχω σχεδιάσει
1. υπολογίζει τις αποστάσεις κάθε πιθανού ζεύγους πλευρών (σύνολικά 9 συνδιασμοί).
2. Για κάθε κορυφή ενός τριγώνου ελέγχει αν η προβολή του στο επίπεδο που ορίζεται από το άλλο τρίγωνο είναι εντός του τριγώνου. Αν είναι, τότε η απόσταση του από το άλλο τρίγωνο δίνεται από τον τύπο της απόστασης σημείου από επίπεδο. Αν δεν είναι, τότε δεν μας ενδιαφέρει αυτή η περίπτωση. (συνολικά 6 έλεγχοι)
3. από όλους τους παραπάνω υπολογισμούς επιστρέφει την ελάχιστη απόσταση που υπολογίστηκε.

Αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε είναι πως δεν χρειάζεται να γίνει ο έλεγχος εσωτερικού σημείου - προς - εσωτερικό σημείο των τριγώνων.
Δηλαδή, τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος που δηλώνει την Ευκλείδεια απόσταση των τριγώνων, δεν μπορούν να είναι και τα δύο εσωτερικά σημεία των τριγώνων ( ή άμα είναι, τότε η ίδια ακριβώς απόσταση υπολογίζεται και από τους προηγούμενους ελέγχους που έγιναν).

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων,
Παναγιώτης.

[nickthegreek]

Αφαιρώ το post λόγω λάθους. Ευχαριστώ τον δημιουργό του θέματος για την επισήμανση.

[nickthegreek]

Άμα σε ενδιαφέρει, μπορούμε να συζητήσουμε παραδείγματος χάρη και το πότε υπάρχει περίπττωση η ελάχιστη απόσταση να επιτυγχάνεται και σε σημείο εσωτερικό-εσωτερικό, όχι μόνο στα άκρα του . Τότε τα τρίγωνα πρέπει να ανήκουν σε παράλληλα επίπεδα.

[Karelis Panagiotisq]

Σας ευχαριστώ πολύ για την άμεση απάντηση.