τριγωνομετρική-εκθετική εξίσωση

#1

Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η εξίσωση
${\rm{e}}^{\sin{x}}\cos{x}-{\rm{e}}^{\cos{x}}\sin{x}=0$

abgd · #2

grigkost έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 14, 2025 12:28 pm
Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η εξίσωση
${\rm{e}}^{\sin{x}}\cos{x}-{\rm{e}}^{\cos{x}}\sin{x}=0$

Διέγραψα τη λύση.... υπήρχε κάποιο λάθος στην παράγωγο της συνάρτησης που θεώρησα!

#3

Ακόμα μία λύση:

Οι $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ , $k\in{\mathbb{Z}}$ , δεν αποτελούν λύσεις της

${\rm{e}}^{\sin{x}}\cos{x}={\rm{e}}^{\cos{x}}\sin{x}\,.\quad(1)$

Επομένως η εξίσωση (1)

γίνεται ισοδύναμα

${\rm{e}}^{\cos{x}-\sin{x}}\tan{x}=1\,.\quad(2)$

Η συνάρτηση $h\colon{\mathbb{R}}\setminus\big\{{\frac{\pi}{2}+k\pi\;|\; k\in{\mathbb{Z}}}\big\}\longrightarrow{\mathbb{R}}$ με τύπο $h(x)={\rm{e}}^{\cos{x}-\sin{x}}\tan{x}$ έχει παράγωγο

$\begin{aligned} h'(x)&=\frac{{\rm{e}}^{\cos{x}-\sin{x}}}{\cos^2{x}}\,\big({\cos^3{x}-\sin{x}\cos^2{x}-\cos{x}+1}\big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\frac{\sqrt{2}\;{\rm{e}}^{\cos{x}-\sin{x}}}{4\cos^2{x}}\bigg({\sin\big({\tfrac{\pi}{4}-3x}\big)-\sin\big({\tfrac{\pi}{4}+x}\big)+\frac{4}{\sqrt{2}}}\bigg)>0\,, \end{aligned}$

δηλαδή είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα $\big({k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2}}\big)$ , $k\in{\mathbb{Z}}$ . Επειδή για κάθε $k\in{\mathbb{Z}}$ , ισχύει $\lim_{x\to k\pi-\frac{\pi}{2}^{+}}h(x)=-\infty$ , $\lim_{x\to k\pi+\frac{\pi}{2}^{-}}h(x)=+\infty$ , έπεται ότι, για κάθε $k\in{\mathbb{Z}}$ , υπάρχει ακριβώς μία λύση της εξίσωσης (2)

στο διάστημα $\big({k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2}}\big)$ . Όμως οι $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ είναι, προφανώς, λύσεις της εξίσωσης (2)

. Συνεπώς είναι και οι μοναδικές λύσεις της εξίσωσης (2)

, άρα και της εξίσωσης (1)

.

BAGGP93 · #4

Και άλλη μια ιδέα.

Μελετώντας τη μονοτονία της απεικόνισης $\displaystyle{g(x)=\frac{e^x}{x},\,x\neq 0}$ βλέπουμε ότι η

είναι γνησίως μονότονη και άρα 1-1

σε κάθε ένα από τα

διαστήματα $\left(-\infty,0\right), \left(0,1\right]$ και $\left[1,+\infty\right).$

Με τους γνωστούς περιορισμούς, η εξίσωση παίρνει τη μορφή $g(\sin x)=g(\cos x)$ και επειδή για τις επιτρεπτές τιμές του

τα $\sin x$ και $\cos x$ έχουν το ίδιο πρόσημο,

καταλήγουμε στην εξίσωση $\tan x=1$ κατά τα γνωστά...

#5

BAGGP93 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 14, 2025 8:09 pm
Και άλλη μια ιδέα.

Μελετώντας τη μονοτονία της απεικόνισης $\displaystyle{g(x)=\frac{e^x}{x},\,x\neq 0}$ βλέπουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη και άρα σε κάθε ένα από τα

διαστήματα $\left(-\infty,0\right), \left(0,1\right]$ και $\left[1,+\infty\right).$

Με τους γνωστούς περιορισμούς, η εξίσωση παίρνει τη μορφή $g(\sin x)=g(\cos x)$ και επειδή για τις επιτρεπτές τιμές του τα $\sin x$ και $\cos x$ έχουν το ίδιο πρόσημο,

καταλήγουμε στην εξίσωση $\tan x=1$ κατά τα γνωστά...

.
Βαγγέλη, ομολογώ ότι δεν καταλαβαίνω το επιχείρημά σου, ιδίως τις τελευταίες τρεις γραμμές (οι οποίες είναι πολύ συνοπτικά γραμμένες). Αν ακολουθήσω το ίδιο επειχείρημα, όπως το αντιλαμβάνομαι, για την εξίσωση

$\dfrac {e^x}{1+x} = \dfrac {e^{\frac {1}{2}x^3}}{1+\frac {1}{2}x^3}$ με $g(x)= \dfrac {e^x}{1+x}, \, h(x)=x,\, k(x)=\frac {1}{2}x^3$

έχουμε ότι η

είναι μονότονη για $x\ge 0$ (άμεσο με παραγώγιση) και οι $x, \, h(x), \,k(x)$ έχουν το ίδιο πρόσημο στο εν λόγω διάστημα.

Λες λοιπόν ότι η παραπάνω εξίσωση καταλήγει στην $\dfrac {h(x)}{k(x)}=1$ .

Όμως η τελευταία, ισοδύναμα $1+x= 1+\frac {1}{2}x^3$ , έχει ρίζα μόνο το x=0

. Από την άλλη, στα γραφήματα από το Geogebra των δύο μελών της εξίσωσης, βλέπω και άλλη ρίζα πλην της x=0

. Χάνω κάτι;

abgd · #6

Μιχάλη η συνάρτηση που έθεσε ο Βαγγέλης είναι καλή και δίνει απάντηση.

Αλλά υπάρχει μια καλύτερη συνάρτηση που κάνει πολύ ευκολότερη την επίλυση της εξίσωσης.

Είναι η $f(x)=xe^{-x}, \ \ x\in (-\infty,1]$ . Αυτή είναι γνησίως αύξουσα και, εφόσον $sinx, \ \ cosx \in (-\infty, 1]$ , θα είναι

$e^{sinx}cosx=e^{cosx}sinx \Leftrightarrow f(sinx)=f(cosx) \Leftrightarrow sinx=cosx \Leftrightarrow x=k\pi+\dfrac{\pi}{4}, \ \ k \in \mathbb{Z}$

Σημείωση: Η συνάρτηση του Βαγγέλη πρέπει να οριστεί στο σύνολο $(-\infty,0)\cup(0,1]$ στο οποίο βρίσκονται τα $sinx, \ \ cosx$ .
Στο σύνολο αυτό μπορούμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι .

BAGGP93 · #7

abgd έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 15, 2025 12:54 am
Μιχάλη η συνάρτηση που έθεσε ο Βαγγέλης είναι καλή και δίνει απάντηση.

Αλλά υπάρχει μια καλύτερη συνάρτηση που κάνει πολύ ευκολότερη την επίλυση της εξίσωσης.

Είναι η $f(x)=xe^{-x}, \ \ x\in (-\infty,1]$ . Αυτή είναι γνησίως αύξουσα και, εφόσον $sinx, \ \ cosx \in (-\infty, 1]$ , θα είναι

$e^{sinx}cosx=e^{cosx}sinx \Leftrightarrow f(sinx)=f(cosx) \Leftrightarrow sinx=cosx \Leftrightarrow x=k\pi+\dfrac{\pi}{4}, \ \ k \in \mathbb{Z}$

Σημείωση: Η συνάρτηση του Βαγγέλη πρέπει να οριστεί στο σύνολο $(-\infty,0)\cup(0,1]$ στο οποίο βρίσκονται τα $sinx, \ \ cosx$ .
Στο σύνολο αυτό μπορούμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι .

Πολύ σωστά, έπρεπε να την έχω περιορίσει στα παραπάνω διαστήματα. Σε ευχαριστώ.

τριγωνομετρική-εκθετική εξίσωση

τριγωνομετρική-εκθετική εξίσωση

Re: τριγωνομετρική-εκθετική εξίσωση

Re: τριγωνομετρική-εκθετική εξίσωση

Re: τριγωνομετρική-εκθετική εξίσωση

Re: τριγωνομετρική-εκθετική εξίσωση

Re: τριγωνομετρική-εκθετική εξίσωση

Re: τριγωνομετρική-εκθετική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση