Όχι σπατάλες

#1

Πόσα $\displaystyle{3\,x\,5}$ ορθογώνια κομμάτια από χαρτόνι μπορούν να κοπούν από ένα $\displaystyle{17\,x\,22}$ ορθογώνιο κομμάτι
έτσι ώστε η ποσότητα του αχρησιμοποίητου να είναι ένα ελάχιστη ;

#2

Είναι εύκολο να χρησιμοποιήσουμε 20 τέτοια ορθογώνια. Μπορούμε μάλιστα να καλύψουμε πλήρως με αυτά ένα $15 \times 20$ ορθογώνιο.

Η δυσκολία είναι να δειχθεί ότι δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε περισσότερα. Για βοήθεια βάζω το πιο κάτω σχήμα.

Κι όμως μπορούμε όπως θα δείτε στην επόμενη ανάρτηση. Απολογούμαι για την παραπλάνηση. Διέγραψα το σχήμα αφού πλέον δεν προσφέρει τίποτα αλλά αφήνω τα υπόλοιπα.

manos66 · #3

#4

manos66 έγραψε:23

Η σωστή απάντηση είναι 24.

Πριν συνεχίσω ας σημειώσω ένα ουσιαστικό κενό της παραπάνω λύσης (πέρα από το ότι είναι εσφαλμένη):

Δεν αρκεί να κατασκευάσουμε μία διαμέριση με

παραλληλόγραμμα. Αυτό που ΠΡΕΠΕΙ να κάνουμε είναι να αποδείξουμε ότι δεν γίνεται κάποια άλλη διαμέριση με N+1

(αλλιώς μπλέκουμε το ικανό με το αναγκαίο). Για την άσκησή μας:

α) Βρείτε μία διαμέριση με

.

β) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει διαμέριση με

(το τελευταίο θα γίνει με μέτρημα, όχι με σχέδιο).

Θα επανέλθω, αν χρειαστεί. Για την ώρα το αφήνω ως μία ωραία άσκηση.

Φιλικά,

Μιχάλης

ealexiou · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
manos66 έγραψε:23
Η σωστή απάντηση είναι 24.

Δεν αρκεί να κατασκευάσουμε μία διαμέριση με παραλληλόγραμμα. Αυτό που ΠΡΕΠΕΙ να κάνουμε είναι να αποδείξουμε ότι δεν γίνεται κάποια άλλη διαμέριση με (αλλιώς μπλέκουμε το ικανό με το αναγκαίο). Για την άσκησή μας:

α) Βρείτε μία διαμέριση με .

β) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει διαμέριση με (το τελευταίο θα γίνει με μέτρημα, όχι με σχέδιο).

Θα επανέλθω, αν χρειαστεί. Για την ώρα το αφήνω ως μία ωραία άσκηση.

Φιλικά,

Μιχάλης

Για το (β) (το εύκολο) Έστω ότι υπάρχει διαμέριση με 25, 3x5

ορθογώνια τότε $E{1}=3\cdot5\cdot25=375$ , όμως το ορθογώνιο μας είναι 17x22

οπότε $E_{2}=17\cdot22=374$ . $E_{1}>E_{2}$ άτοπο, δεν χωράνε.

#6

Καλησπέρα σε όλους.

Νομίζω συμπληρώθηκε η απόδειξη, αφού ο Ευθύμης απέκλεισε την περίπτωση να χωρέσουν 25.
Περισεύουν 14 τετραγωνάκια. Πιθανόν να υπάρχει κι άλλη διάταξη.

Το σχέδιο μπορεί να βαφτιστεί: "Ο εφιάλτης του τυπογράφου"!

: 04-10-2015 Διασκεδαστικά Μαθηματικά.jpg (15.31 KiB) Προβλήθηκε 1088 φορές

#7

ealexiou έγραψε:
Για το (β) (το εύκολο) Έστω ότι υπάρχει διαμέριση με ορθογώνια τότε $E{1}=3\cdot5\cdot25=375$ , όμως το ορθογώνιο μας είναι οπότε $E_{2}=17\cdot22=374$ . $E_{1}>E_{2}$ άτοπο, δεν χωράνε.

Ορθότατα.

Αν θέλουμε να αποφύγουμε την απόδειξη με άτοπο - διότι υπάρχει άγραφος νόμος να τις αποφεύγουμε όταν και άμα μπορούμε (*) - λέμε: Αν

τα $3\times 5$ ορθογώνια μιας διαμέρισης (με ενδεχομένως κάποια περισσευούμενα) έχουμε $3\times 5 \times N \le 17 \times 22$ , οπότε $N \le 24 \frac {14}{15}$ , και άρα $N\le 24$ (ως ακέραιος).

(*) Δεν μπαίνω στην συζήτηση για εξήγηση, αλλά έχει να κάνει με τις διαμαρτυρίες των "καθαρών" για τον Νόμο της τρίτου αποκλίσεως.

ealexiou · #8

: Όχι σπατάλες.png (18.45 KiB) Προβλήθηκε 1073 φορές

#9

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Πιθανόν να υπάρχει κι άλλη διάταξη.

Γιώργο, υπάρχουν και άλλες διατάξεις. Βάζω μία που έχει όσο περισσότερα "τακτοποιημένα" μέρη.

Πώς σκεφτόμαστε; Θέλουμε φυσικούς a,b

με

ώστε να μην περισσέψει κανένα τετραγωνάκι από τα

του μήκους. Η λύση είναι a=4, b=2

, την οποία υιοθέτησα. Επίσης θέλουμε c,d

με

ώστε να περισσέψει κανένα τετραγωνάκι από τα

του πλάτους. Εδώ c=4,d=1

που επίσης υιοθέτησα. Στην λύση του Μάνου το πλάτος έχει a=7, d=0

, που δίνει 3a+5b=21<22

, οπότε "χάνουμε πολλά".

Edit: Όσο έγραφα, ανάρτησε ο Ευθύμης την ωραία "τακτοποιημένη" διαμέρισή του. Παρατηρείστε ότι και σε αυτήν τα a,b,c,d

είναι όπως τα αναφέρω, οπότε δεν έχουμε "χασούρα".

#10

Kαλησπέρα σε όλους.

Ομολογώ ότι έκανα τη διαμέριση παίζοντας με το CorelDraw μετακινώντας τις ψηφίδες 3x5 σε καμβά 17x22. Όταν χώρεσαν τα κομμάτια, δεν προσπάθησα να τα ταιριάξω καλύτερα. Σκέφτηκα ότι έτσι κι αλλιώς ο τυπογράφος θα τα κόψει και θα τα ξακρίσει

Όμως, οι μερακλήδες τυπογράφοι από τα ξακρίσματα φτιάχνουν σελιδοδείκτες, καρτούλες κι άλλα καλούδια, οπότε οι διατάξεις του Ευθύμη και του Μιχάλη είναι οι βέλτιστες λύσεις.

Και βεβαίως, άκρως διδακτική η τεχνική που περιέγραψε ο Μιχάλης!

#11

Καλησπέρα σε όλους
Χαίρομαι που σας άρεσε
Το πρόβλημα είναι από το Crux Mathematicorum
από το τεύχος Dec 1976 (κάτω-κάτω δεξιά ), σελίδα 20 στο pdf
Έχει μια εμπεριστατωμένη λάθος λύση ( βρίσκει 23 ορθογώνια )

Όχι σπατάλες

Όχι σπατάλες

Re: Όχι σπατάλες

Re: Όχι σπατάλες

Re: Όχι σπατάλες

Re: Όχι σπατάλες

Re: Όχι σπατάλες

Re: Όχι σπατάλες

Re: Όχι σπατάλες

Re: Όχι σπατάλες

Re: Όχι σπατάλες

Re: Όχι σπατάλες

Μέλη σε σύνδεση