Επιλυση Εξισωσης

mick7 · #1

Να προσδιοριστει το πλήθος των ριζών της παρακάτω εξίσωσης με $x\in R$

$\display (5+x)^x=7$

Σταμ. Γλάρος · #2

mick7 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 30, 2019 7:25 am
Να προσδιοριστει το πλήθος των ριζών της παρακάτω εξίσωσης με $x\in R$

$\display (5+x)^x=7$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Θέτω στην εξίσωση όπου x+5=u

. Ισοδυνάμως έχουμε: $u^{u-5} = 7$ , με u>0

.

Θεωρώ την συνάρτηση $f(x)=x^{x-5} - 7 = e ^{(x-5)lnx} -7$ , παραγωγίσιμη με $f'(x)=x^{x-6}\cdot g(x)$ ,
όπου g(x)=xlnx+x-5

, επίσης παραγωγίσιμη με g'(x)=lnx + 2

.

Είναι g'(x)<0

$\forall x \in (0,e^{-2})$ ,άρα g: γνησίως φθίνουσα στο $(0,e^{-2}]$ , οπότε
$g\left ( (0,e^{-2}] \right )=\left [ -5-e^{-2} , -5 \right )$ .
Αυτό ισχύει επειδή $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)= -5}$ αφού εύκολα προκύπτει εφαρμόζοντας
κανόνα de l' Hospital ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(xlnx)= 0}$

Επίσης g'(x)>0

$\forall x \in (e^{-2} , +\infty)$ ,άρα g: γνησίως αύξουσα στο $[e^{-2} , +\infty)$ , οπότε
$g\left ( [e^{-2} , +\infty) \right )=\left [ -5-e^{-2} , +\infty \right )$ .
Αυτό ισχύει επειδή $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty) }$ .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι g(x)<0

$\forall x \in (0,e^{-2}]$ και ότι μόνο στο διάστημα $(e^{-2} , +\infty)$ ,
υπάρχει μοναδική ρίζα x_o

της

, επειδή

: 1-1 , αφού είναι γνησίως αύξουσα στο $[e^{-2} , +\infty)$ .

Επιπλέον έχουμε g(2)=2ln2-3=ln4-lne^3 <0

και

.
Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano για την

στο κλειστό [2,3]

.
Συνεπώς η παραπάνω ρίζα $x_o \in (2,3)$ .

Επομένως προκύπτουν :
$f'(x)= x^{x-6}\cdot g(x)<0 , \forall x \in (0, x_o)\Rightarrow f:$ γνησίως φθίνουσα στο (0, x_o ]

και
$f'(x)= x^{x-6}\cdot g(x)>0 , \forall x \in ( x_o , \infty)\Rightarrow f:$ γνησίως αύξουσα στο $[ x_o , \infty )$ .
Τα παραπάνω ισχύουν επειδή
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)= \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left (e^{(x-5)lnx} -7 \right )=+\infty}$ , αφού $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(x-5)lnx =+\infty$ ,
$x_o<3\Rightarrow f(x_o)<f(3)=3^{-2}-7<0$ και
$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)= +\infty$ .

Τελικώς έχουμε :
$f\left ( (0,x_o] \right )= \left [ f(x_o),+\infty \right ),f(x_o)<0$ και
$f\left ( [x_o, \infty \right )= \left [ f(x_o),+\infty \right ),f(x_o)<0$ .
Το $0 \in \left [ f(x_o),+\infty \right )$ συνεπώς υπάρχουν ακριβώς δύο ρίζες της αρχικής εξίσωσης.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

για

η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται.

$x\ln (x+5)-\ln 7=0$

Θέτοντας $f(x)=x\ln (x+5)-\ln 7$
έχουμε
$f''(x)=\frac{1}{x+5}+\frac{5}{(x+5)^{2}}> 0$

Αρα η συνάρτηση είναι κυρτή.

Ετσι η f(x)=0

έχει το πολύ δύο ρίζες.

Αλλά $f(0)=-\ln 7< 0,f(100)=100\ln 105-\ln 7> 0,f(-5+\frac{1}{100})=(5-\frac{1}{100})\ln 100-\ln 7> 0$

Ετσι από Bolzano εχει τουλάχιστον δύο ρίζες.

Άρα για x+5>0

έχει ακριβώς δύο ρίζες.

Η x=-5

προφανως δεν είναι ρίζα.

Για x<-5

αν η εξίσωση έχει ρίζα θα πρέπει ο

να είναι ρητός (γιατί;)

Αφήνω στον αναγνώστη να δείξει ότι για x<-5

η εξίσωση δεν έχει λύση.
(στοιχειώδης θεωρία αριθμών)

mick7 · #4

Ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις.

Επιλυση Εξισωσης

Επιλυση Εξισωσης

Re: Επιλυση Εξισωσης

Re: Επιλυση Εξισωσης

Re: Επιλυση Εξισωσης

Μέλη σε σύνδεση