Μινιμαλισμός

KARKAR · #1

Υπάρχουν άραγε θετικοί k , m

, ώστε η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{3x^2-3x+k}{2x^2-2x+m}$ ,

να έχει ελάχιστη τιμή : $f_{min}=1$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 10, 2022 10:40 am
Υπάρχουν άραγε θετικοί , ώστε η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{3x^2-3x+k}{2x^2-2x+m}$ ,

να έχει ελάχιστη τιμή : $f_{min}=1$ ;

Υπάρχουν, και μάλιστα πολλά ζεύγη από $k,\,m$ .

Ξεκινώ με

αυθαίρετο με μόνο περιορισμό να μου κάνει τον παρονομαστή γνήσια θετικό. Π.χ. παίρνω m=2

οπότε $2x^2-2x+2= 2\left ( x- \dfrac {1}{2} \right ) ^2 + \dfrac {3}{2} \ge \dfrac {3}{2}$ με ισότητα για $x= \dfrac {1}{2}$ .

Tώρα ψάχνω το

.

To δοθέν κλάσμα (με m=2

) ισούται

$\displaystyle{\dfrac {3}{2} + \dfrac{k-3}{2x^2-2x+2}}$ το οποίο θέλω να έχει ελάχιστο ίσο με

, δηλαδή θέλω $\displaystyle{\dfrac {3}{2} + \dfrac{k-3}{2x^2-2x+2}\ge 1}$ , με ισότητα για κάποιο

.

Ισοδύναμα $\displaystyle{k-3 }{}\ge -\dfrac {1}{2}(2x^2-2x+2)}$ δηλαδή $3-k \le x^2-x+1 = \left ( x- \dfrac {1}{2} \right ) ^2 + \dfrac {3}{4}$

Θέλουμε ισότητα για $x= \dfrac {1}{2}$ , οπότε εκεί έχουμε $3-k = \dfrac {3}{4}$ . Άρα $k = \dfrac {9}{4}$ .

Eλέγχουμε ότι αυτό το

μας κάνει (τα βήματα άλλωστε είναι αντιστρέψιμα).

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 10, 2022 10:40 am
Υπάρχουν άραγε θετικοί , ώστε η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{3x^2-3x+k}{2x^2-2x+m}$ ,

να έχει ελάχιστη τιμή : $f_{min}=1$ ;

Αλλιώς: Όπως πριν επιλέγω αυθαίρετο

που να κάνει τον παρονομαστή θετικό. Π.χ. m=2

.

Τότε $f'(x)= \dfrac {2(2x-1)(3-k)}{(2x^2-2x+2)^2}$

Ο αριθμητής μηδενίζεται στο $x=\dfrac {1}{2}$ . Από το πρόσημο του αριθμητή της παραγώγου εκατέρωθεν του $x=\dfrac {1}{2}$ θα έχω ελάχιστο αν φροντίσω να είναι $3-k>0,\, (*)$ .

Η τιμή της συνάρτησης στο $x=\dfrac {1}{2}$ είναι $\displaystyle{f\left ( \dfrac {1}{2} \right) = \dfrac { -\frac {3}{4} +k} {\frac {3}{2}}}$ . Οπότε αν το ελάχιστο της

είναι

, θα έχω

$\displaystyle{\dfrac { -\frac {3}{4} +k} {\frac {3}{2}}=1}$ , δηλαδή $k = \dfrac {9}{4}$ . Επειδή ικανοποιείται και η (*)

, μας κάνει.

Γενικά, το υποψήφιο

είναι το $k=m+\dfrac {1}{4}$ όπως φαίνεται από το γεγονός ότι $\displaystyle{f\left ( \dfrac {1}{2} \right) = \dfrac { -\frac {3}{4} +k} {-\frac {2}{4} +m}}$ . το οποίο θέλουμε να ισούται με

.

Μινιμαλισμός

Μινιμαλισμός

Re: Μινιμαλισμός

Re: Μινιμαλισμός

Μέλη σε σύνδεση