Πρόβλημα λογικής!

[ruins]

1
11
21
1112
3112

Βρείτε τον επόμενο αριθμό που συνεχίζει την ακολουθία....

[Γιώργος Ρίζος]

Το είχα κάπου ξαναδεί...

Αν θυμάμαι καλά:
Στην πρώτη γραμμή έχουμε το 1
στη δεύτερη γραμμή γράφουμε: 11 (σα να λέγαμε ένας άσσος...)
στην τρίτη γραμμή γράφουμε: 21 (δύο άσσοι)
στην τέταρτη γράφουμε:11 (ένας άσσος) και 12 (ένα δυάρι) 11-12 --> 1112
στην πέμπτη γράφουμε: 31 (τρεις άσσοι) και 12 (ένα δυάρι) 31-12 --> 3112
οπότε στην επόμενη θα έχουμε: 21 (δύο άσσοι), 12 (ένα δυάρι) και 13 (ένα τριάρι) 21-12-13 -->211213

Σταματώ!
Δεν ξέρω αν μπορούμε να το πούμε ακολουθία, αλλά σε μαθητές μου δε θα το ζητούσα...

Γιώργος Ρίζος

edit 10:23 Εννοώ ότι σε κάθε σειρά καταμετρούμε πόσοι άσσοι, δυάρια κ,λπ. υπάρχουν στην προηγούμενη και το καταγράφουμε όπως περιγράφεται παραπάνω...

[Demetres]

Μια πολύ όμορφη σελίδα για τέτοιες ακολουθίες είναι αυτή εδώ: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

Στο παράδειγμά μας η ακολουθία είναι η Α005151.

Ένα από τα άρθρα που παραθέτει, (το V. Bronstein and A. S. Fraenkel, On a curious property of counting sequences, Amer. Math. Monthly, 101 (1994), 560-563) περιέχει το εξής απίστευτο αποτέλεσμα:

Στο παράδειγμά μας η ακολουθία συνεχίζει σαν

211213
312213
212213
114213
41122314
31221324
21322314
21322314

και μετά επαναλαμβάνεται συνέχεια το 21322314.

Αυτό το φαινόμενο συμβαίνει πάντα! Από οποιαδήποτε πεπερασμένη ακολυθία ακεραίων και αν ξεκινήσουμε (στην περίπτωσή μας ξεκινήσαμε από το 1) η ακολουθία των ακολουθιών που παίρνουμε με αυτό τον τρόπο είναι τελικά περιοδική.

Η απόδειξη είναι γύρω στις 3 σελίδες αλλά δεν την έχω διαβάσει.