Κατασκευή με γωνίες κι εμβαδόν

#1

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC

αν γνωρίζουμε τις γωνίες του $\widehat B = \widehat \theta \,\,,\,\,\widehat C = \widehat \omega \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(ABC) = {k^2}$ όπου

, γνωστό ευθύγραμμο τμήμα .

#2

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 12:09 am
Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν γνωρίζουμε τις γωνίες του $\widehat B = \widehat \theta \,\,,\,\,\widehat C = \widehat \omega \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(ABC) = {k^2}$ όπου , γνωστό ευθύγραμμο τμήμα .

Νίκο καλημέρα από Γρεβενά....

Μια πρώτη ιδέα:
Για την κατασκευή αυτή από τα δεδομένα πλέον γνωρίζουμε και τις τρεις γωνίες $\displaystyle{A,B,C}$ του
τριγώνου καθώς και το εμβαδόν του $\displaystyle{E}$ .
Άρα θα είναι:

$\displaystyle{E=k^2 \Rightarrow \frac{1}{2}bcsinA=k^2 \Rightarrow bc=\frac{2k^2}{sinA}\ \ (1)}$

Όμοια θα είναι:

$\displaystyle{ca=\frac{2k^2}{sinB} \ \ (2)}$

$\displaystyle{ab=\frac{2k^2}{sinC} \ \ (3)}$

Πολλαπλασιάζοντας τις (1),(2) και (3) κατά μέλη προκύπτει:

$\displaystyle{(abc)^2=\frac{(2k^2)^3}{sinAsinBsinC} \ \ (4)}$

Όμως για το τρίγωνο αυτό ισχύει ακόμα:

$\displaystyle{abc=4ER \Rightarrow abc=4k^2R \ \ (5)}$

όπου $\displaystyle{R}$ , η τιμή της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ .

Έτσι από τις (4) και (5) μετά από πράξεις προκύπτει:

$\displaystyle{R=\frac{k}{\sqrt{2sinAsinBsinC}} \ \ (6)}$

Από την (6) μας είναι πλέον γνωστή η τιμή της ακτίνας του περιγεγραμμένου
κύκλου στο τρίγωνο αυτό.

Έτσι οι τιμές των πλευρών του ζητούμενου τριγώνου είναι:

$\displaystyle{a=2RsinA, \ \ b=2RsinB, \ \ c=2RsinC}$

Επομένως γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του και συνεπώς κατασκευάζεται.

Σημείωση: Το $\displaystyle{k}$ στους ανωτέρω λογαριασμούς είναι το μέτρο του δοθέντος τμήματος.

Μια ακόμα ιδέα ίσως πιο γεωμετρική ....

Το πρόβλημά μας ανάγεται στον ακόλουθο μετασχηματισμό:

: Κατασκευή 11.png (7.52 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές

Έχουμε δηλαδή να μετασχηματίσουμε ένα δοσμένο τετράγωνο σε ένα τρίγωνο με γνωστές γωνίες.
Άρα αρχικά κατασκευάζουμε ένα τρίγωνο $\displaystyle{A'B'C'}$ που έχει γωνίες τις δοσμένες αρχικά γωνίες
και το οποίο έχει εμβαδόν $\displaystyle{E_o}$ . Tότε ζητούμε το μετασχηματισμό:

: Κατασκευή 12.png (7.3 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές

Ουσιαστικά ζητούμε μια ομοιοθεσία που να οδηγεί το $\displaystyle{A'B'C'}$ στο ζητούμενο τρίγωνο.
Τότε ο λόγος ομοιοθεσίας θα είναι:

$\displaystyle{l^2=\frac{k^2}{E_o} \Rightarrow l=\frac{k}{\sqrt{E_o} }\ \ (7)}$

Από την (7) γνωρίζουμε το λόγο $\displaystyle{l}$ της ομοιοθεσίας κι έτσι εύκολα κατασκευάζουμε το ζητούμενο.

Κώστας Δόρτσιος

#3

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 12:09 am
Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν γνωρίζουμε τις γωνίες του $\widehat B = \widehat \theta \,\,,\,\,\widehat C = \widehat \omega \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(ABC) = {k^2}$ όπου , γνωστό ευθύγραμμο τμήμα .

Παρόμοια με την πρώτη του Κώστα αλλά χωρίς τη μεσολάβηση του

Στην ουσία ζητάμε μία πλευρά, έστω την

Από του γνωστούς τύπους του εμβαδού: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} bc = \frac{{2{k^2}}}{{\sin A}}\\ \\ b = \frac{{2{k^2}}}{{a\sin C}}\\ \\ c = \frac{{2{k^2}}}{{a\sin B}} \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{{a^2} = \frac{{2{k^2}\sin (\theta + \omega )}}{{\sin \theta \sin \omega }}}$

Κατασκευή με γωνίες κι εμβαδόν

Κατασκευή με γωνίες κι εμβαδόν

Re: Κατασκευή με γωνίες κι εμβαδόν

Re: Κατασκευή με γωνίες κι εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση