Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

Christos.N · #1

Τα είδα και μου φάνηκαν "χαριτωμένα"

Αν $lnx=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt$ να αποδειχθεί η ταυτότητα ln(xy)=lnx+lny

.

Αν πάλι $x=\int_{0}^{x}dt$ και $x^2=\int_{0}^{x}2tdt$ να αποδειχθεί η ταυτότητα (x+y)^2=x^2+2xy+y^2

Tolaso J Kos · #2

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pm
Τα είδα και μου φάνηκαν "χαριτωμένα"

Αν $lnx=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt$ να αποδειχθεί η ταυτότητα .

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \ln xy &=\int_{1}^{xy}\frac{\mathrm{d}t}{t} \\ & = \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt + \int_{x}^{xy}\frac{\mathrm{d}t}{t} \\ &\!\!\!\!\!\!\overset{t \mapsto t/x}{=\! =\! =\! =\! =\!} \ln x + \int_{1}^{y} \frac{\mathrm{d}t}{t} \\ &=\ln x + \ln y \end{aligned}}$

Tolaso J Kos · #3

Εντελώς ανάλογα χρησιμοποιώντας ότι $\ln x = \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t}$ μπορούμε να δείξουμε ότι

$\displaystyle{\ln x^\nu = \nu \ln x}$

#4

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pm
Αν $lnx=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt$ να αποδειχθεί η ταυτότητα .

Aς προσθέσω το ιστορικό σχόλιο ότι αυτή ακριβώς η μέθοδος οφείλεται στον επονοητή της ιδιότητας $\displaystyle{\ln x=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt}$ ,

τον εκ Σκωτίας μαθηματικό James Gregory (1638-1675), στο περίφημο βιβλίο του Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (1667). Βλέπε εδώ.

Ο Gregory πέθανε μόλις στα

του, πρόλαβε όμως να γίνει μέλος στην Royal Society ήδη από τα

του.

Tolaso J Kos · #5

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pm
Τα είδα και μου φάνηκαν "χαριτωμένα"

Αν πάλι $x=\int_{0}^{x}dt$ και $x^2=\int_{0}^{x}2tdt$ να αποδειχθεί η ταυτότητα

Χρήστο καμία υπόδειξη για αυτή;

#6

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pm
Αν πάλι $x=\int_{0}^{x}dt$ και $x^2=\int_{0}^{x}2tdt$ να αποδειχθεί η ταυτότητα

Με την αλλαγή μεταβλητής t=s+x

σε κάποιο βήμα, έχουμε

$\displaystyle{(x+y)^2 = \int _0^{x+y} 2tdt = \int _0^{x} 2tdt + \int _x^{x+y} 2tdt = x^2 + \int _0^{y} 2(s+x) ds = }$

$\displaystyle{=x^2 + \int _0^{y} 2sds +2x\int _0^y ds = x^2+y^2+2xy}$

#7

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pm
Τα είδα και μου φάνηκαν "χαριτωμένα"

Αν $lnx=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt$ να αποδειχθεί η ταυτότητα .

Αν πάλι $x=\int_{0}^{x}dt$ και $x^2=\int_{0}^{x}2tdt$ να αποδειχθεί η ταυτότητα

Χρήστο,

πραγματικά χαριτωμένη η μεθοδολογία και μου προξένησε την απορία μήπως υπάρχει τρόπος να αποδειχθούν οι δύο ταυτότητες με χρήση παραγώγων αντί ολοκληρωμάτων. Και ναι, υπάρχει. Νομίζω ότι είναι εξίσου χαριτωμένο για την διδασκαλία μας:

α) Για σταθερό

γράφουμε $f(x) = (x+a)^2,\, g(x) = x^2+2ax$ (θα μπορούσα να έπαιρνα g(x)=x^2+2ax+a^2

, αλλά θα δούμε ότι τίποτα δεν αλλάζει στην ουσία). Είναι τότε

$\displaystyle{f'(x) =2(x+a)}$ και $\displaystyle{g'(x)=2x+2a}$ , δηλαδή f'=g'

.

Έπεται ότι για κάποια σταθερά

είναι

. Βάζοντας x=0

παίρνουμε

. Τελικά

.

β) Θέτουμε $f(x)=\ln (ax),\, g(x) = \ln x$ (θα μπορούσα και $g(x)=\ln x + \ln a$ ). Παραγωγίζοντας με τον κανόνα της αλυσίδας είναι

$\displaystyle{ f'(x) = \dfrac {1}{ax} \cdot a = \dfrac {1}{x} = g'(x)}$ . Άρα για κάποια σταθερά

είναι $\ln (ax) = \ln x +c$ .

Για x=1

παίρνουμε $c=\ln a$ , οπότε τελικά $\ln (ax) = \ln x +\ln a$ .

Σχολιάζω ότι με την ίδια τεχνική μπορούμε να αποδείξουμε και άλλες ταυτότητες, όπως π.χ. α) (x+a)^3 = x^3+3ax^2+3a^2x+a^3

, β) $\sin ^2 x + \cos ^2 x=1$ και λοιπά. Επίσης, γ) θεωρώντας γνωστή την $\sin (x+a) = \sin x \cos a + \cos x \sin a$ , παραγωγίζοντας βρίσκουμε την $\cos (x+a) = \cos x \cos a - \sin x \sin a$ . Και άλλες.

Προσοχή, πρέπει να διευκρινίσουμε στους μαθητές μας ότι μερικές από αυτές τις αποδείξεις κάνουν κυκλικό συλλογισμό. Βρίσκονται εκεί μόνον ως χάριν παιδειάς.

Christos.N · #8

Κατ' αρχήν να ευχαριστήσω για την ανταπόκριση σε αυτήν την δημοσίευση τόσο τον Αποστόλη ο και τον Κ. Λάμπρου. Αλλά θα σταθώ ιδιαίτερα στην τέχνη να κάνεις ένα αρχικά τετριμμένο θέμα πολύ πιο ενδιαφέρον από ότι είχα αρχικά φανταστεί με αυτό

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 21, 2021 5:23 pm

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 21, 2021 1:39 pm
Αν $lnx=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt$ να αποδειχθεί η ταυτότητα .
Aς προσθέσω το ιστορικό σχόλιο ότι αυτή ακριβώς η μέθοδος οφείλεται στον επονοητή της ιδιότητας $\displaystyle{\ln x=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt}$ ,

τον εκ Σκωτίας μαθηματικό James Gregory (1638-1675), στο περίφημο βιβλίο του Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (1667). Βλέπε εδώ.

Ο Gregory πέθανε μόλις στα του, πρόλαβε όμως να γίνει μέλος στην Royal Society ήδη από τα του.

πραγματικά ένα ευχαριστώ Κ.Λάμπρου.

Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

Re: Ας αποδείξουμε δύο ταυτότητες

Μέλη σε σύνδεση