Πυκνότητα τελείων τετραγώνων

[KARKAR]

Η η χιλιάδα θετικών ακεραίων αποτελείται από τους : , η η από τους : . κ.ο.κ.

α) Πόσα τέλεια τετράγωνα περιλαμβάνει η η χιλιάδα ;

β) Πόσα τέλεια τετράγωνα περιλαμβάνει η η χιλιάδα ;

γ) Ποια είναι η πρώτη χιλιάδα που δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο ;

δ) Ποια είναι η πρώτη τριάδα χιλιάδων που δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο ;

[Mihalis_Lambrou]

Η η χιλιάδα θετικών ακεραίων αποτελείται από τους : , η η από τους : . κ.ο.κ.

α) Πόσα τέλεια τετράγωνα περιλαμβάνει η η χιλιάδα ;

β) Πόσα τέλεια τετράγωνα περιλαμβάνει η η χιλιάδα ;

γ) Ποια είναι η πρώτη χιλιάδα που δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο ;

δ) Ποια είναι η πρώτη τριάδα χιλιάδων που δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο ;

α) Είναι οπότε τα τέλεια τετράγωνα και μόνον αυτά ( το πλήθος) είναι στην πρώτη χιλιάδα.

β) οπότε τα τέλεια τετράγωνα και μόνον αυτά τα πέντε είναι στην η χιλιάδα.

γ) Θέλουμε δύο διαδοχικά τέλεια τετράγωνα να διαφέρουν κατά . Άρα , ισοδύναμα , δηλαδή , που σημαίνει . Έλεγχος: , δηλαδή η η χιλιάδα δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο.
Αν θέλουμε έναν ακόμη έλεγχο, κοιτάμε την προηγούμενη χιλιάδα, την . Αυτή περιέχει τον και τον τα οποία τυχαίνει να είναι (ακριβώς) τα δύο άκρα της.

δ) 'Ομοια με το γ) αλλά με στην θέση του . Θα δώσει την τριάδα χιλιάδων από τον έως .

[Doloros]

Η η χιλιάδα θετικών ακεραίων αποτελείται από τους : , η η από τους : . κ.ο.κ.

α) Πόσα τέλεια τετράγωνα περιλαμβάνει η η χιλιάδα ;

β) Πόσα τέλεια τετράγωνα περιλαμβάνει η η χιλιάδα ;

γ) Ποια είναι η πρώτη χιλιάδα που δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο ;

δ) Ποια είναι η πρώτη τριάδα χιλιάδων που δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο ;

Το μεγαλύτερο τέλειο τετράγωνο της χιλιάδας δίδεται από τη σχέση : .

Το σύμβολο είναι ο πιο κοντινός από αριστερά ακέραιος στον πραγματικό αριθμό ( πιο αυστηρά )

α) Έτσι για την 1η χιλιάδα , άρα ευτή περιέχει τα τέλεια τετράγωνα των αριθμών ,

Για τη 2η άρα αυτή περιέχει τα τέλεια τετράγωνα των

Και γενικά : ή

β) Για την 9η βρίσκω , , άρα αυτή περιέχει τα τέλεια τετράγωνα των δηλαδή

τέλεια τετράγωνα.

Με επιφύλαξη το γ)

Μέχρι και για η επαληθεύεται ενώ για είναι αδύνατη .

Δηλαδή η 251η χιλιάδα δεν έχει κανένα τέλειο τετράγωνο.

Το δ) δεν το έλυσα αλλά το έλυσε ο Κ. Λάμπρου ( και όλο το θέμα χωρίς δοκιμές! )

Βεβαίως τις δοκιμές τις κάνει κάποιο λογιστικό φύλλο, π.χ. ή κ.λ.π