ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 214 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩΝΟΥ

[ΝΙΚΟΣ]

ΕΙΚΑΣΙΕΣ
Αγαπητοί φίλοι,
επινοήσαμε και δίνουμε παρακάτω δύο Προτάσεις «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», των οποίων έχουμε δώσει τις αποδείξεις των ευθέων τους, ενώ εικάζουμε βάσιμα ότι αληθεύουν και τα αντίστροφά τους. Όμως, παρά τις προσπάθειές μας μέχρι τώρα, δεν επιτύχαμε αποδείξεις των αντιστρόφων τους.
Παρακαλούμε και προκαλούμε όλους τους φίλους και προπαντός εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις αποδείξεις των αντιστρόφων των Προτάσεων αυτών, ώστε να συμπεριληφθούν και αυτές στον αριθμό των μέχρι τώρα Κριτηρίων, «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», που έχουν επινοηθεί:

Εικασία 1.
Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), η διχοτόμος του ΒΕ αποτελεί διαγώνιο τετραγώνου που έχει πλευρά το ύψος του τριγώνου ΑΔ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Εικασία 2.
Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Ι το ίχνος της συμμετροδιαμέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Τ είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και είναι (ΒΕΤ)=(ΓΙΖ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
σήμερα ΠΑΝΗΓΥΡΙΖΟΥΜΕ ΔΙΠΛΑ, καθώς έχουμε τη χαρά να παρουσιάσουμε το 150 ΚΡΙΤΉΡΙΟ όλων μας, που ήταν και ο δεύτερός μας στόχος, αλλά και το 150 ΚΡΙΤΉΡΙΟ δικής μας επινόησης, ενώ βάζουμε πλώρη αισίως για τον τρίτο στόχο μας, που είναι το Κριτήριο 200.
Συγκεκριμένα βρισκόμαστε στην πολύ ευχάριστη θέση να παρουσιάσουμε τα παρακάτω τέσσερα πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς από 150 μέχρι και 153 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»[Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/150 μέχρι και 5/153 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μας με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 148, 149, 150, 151 Κριτήρια δικής μας επινόησης.
Έτσι λοιπόν, αναζητάμε πλέον όλοι μαζί το Κριτήριο 154 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 152.

Κριτήριο 150.
5/150. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Η είναι η τομή των ΑΔ, ΒΕ και είναι (ΑΕΗ)=(ΒΔΗ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 151.
5/151. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Ι το ίχνος της συμμετροδιαμέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ, , Θ είναι το ίχνος της διχο-τόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Λ είναι η τομή των ΓΙ, ΑΘ και είναι: (ΑΙΛ)=(ΓΘΛ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 152.
5/152. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Ε είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Ι το ίχνος της συμμετροδιαμέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ, Φ είναι η τομή των ΒΕ, ΓΙ και είναι (ΒΙΦ)=(ΓΕΦ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 153.
5/153. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Τ είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ, Υ είναι η τομή των ΒΤ, ΓΖ και είναι: (ΒΖΥ)=(ΓΤΥ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Δικές μας αποδείξεις, των παραπάνω τεσσάρων κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που έχουμε χρησιμοποιήσει μέχρι τώρα σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο, ή μας ζητηθούν.
Προτείνουμε στους φίλους να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις, αλλά και να συνεισφέρουν στην επίτευξη του τρίτου στόχου μας.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

[Γιώργος Ρίζος]

Τιμώντας την προσπάθεια του ακούραστου Νίκου Κυριαζή, σύνθεσα μια άσκηση - κριτήριο χρυσού ορθογωνίου τριγώνου, που ίσως να μην έχει διατυπωθεί ακόμα.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Αν γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στη ΒΓ, ΒΕ διχοτόμος της γων. Β και Ζ η προβολή του Ε στη ΒΓ. Δείξτε ότι όταν και μόνο όταν η ΒΔ είναι μέση ανάλογος των ΑΒ και ΔΖ, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

16-10-2010 Χρυσό τρίγωνο.png (18.9 KiB) Προβλήθηκε 2739 φορές

Αν δεν δοθεί σε εύλογο χρονικό διάστημα απόδειξη, θα δώσω μια δική μου.

Γιώργος Ρίζος

[ΝΙΚΟΣ]

Τιμώντας την προσπάθεια του ακούραστου Νίκου Κυριαζή, σύνθεσα μια άσκηση - κριτήριο χρυσού ορθογωνίου τριγώνου, που ίσως να μην έχει διατυπωθεί ακόμα.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Αν γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στη ΒΓ, ΒΕ διχοτόμος της γων. Β και Ζ η προβολή του Ε στη ΒΓ. Δείξτε ότι όταν και μόνο όταν η ΒΔ είναι μέση ανάλογος των ΑΒ και ΔΖ, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

16-10-2010 Χρυσό τρίγωνο.png

Αν δεν δοθεί σε εύλογο χρονικό διάστημα απόδειξη, θα δώσω μια δική μου.

Γιώργος Ρίζος

ΚΡΙΤΗΡΙΟ 154.

Αγαπητέ Γιώργο,
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
είναι γεγονός ότι έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις το 154 πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου, τα καλά σου λόγια, την αφιέρωσή σου μιας άσκησης σε άλλη διεύθυνση, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου και την πέμπτη κατά σειρά συνεισφορά σου στην προσπάθειά μας, στο κυνήγι των Κριτηρίων του «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Είναι εύκολο να έχουμε και μία άλλη απόδειξη του παραπάνω νέου σου Κριτηρίου , με εφαρμογή του Κριτηρίου 13 (που έχουμε αναρτήσει ήδη), την οποία (απόδειξη) και θα αναρτήσω με την πρώτη μου ευκαιρία.

{Γιώργο,
οφείλω να επισημάνω ότι το κριτήριό σου δε διαφέρει πολύ από το κριτήριο 44 [Πρόταση 10ι(163)],όπως θα διαπιστώσεις και εσύ, καθώς το αναφέρω παρακάτω και είναι ΒΖ=ΑΒ. Τούτο όμως δε σημαίνει ότι δεν αποτελεί ιδιαίτερο Κριτήριο.

Κριτήριο 44 (Αναφέρομαι στο σχήμα σου).
10ι(163). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Ζ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ και το Δ είναι χρυσή τομή του ΒΖ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό»}.

Και τώρα μετά την παραπάνω επιτυχία, συνεχίζουμε την προσπάθειά μας για την ανακάλυψη του 155 Κριτήριου του «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».

Ευχές.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Τιμώντας την προσπάθεια του ακούραστου Νίκου Κυριαζή, σύνθεσα μια άσκηση - κριτήριο χρυσού ορθογωνίου τριγώνου, που ίσως να μην έχει διατυπωθεί ακόμα.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Αν γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στη ΒΓ, ΒΕ διχοτόμος της γων. Β και Ζ η προβολή του Ε στη ΒΓ. Δείξτε ότι όταν και μόνο όταν η ΒΔ είναι μέση ανάλογος των ΑΒ και ΔΖ, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

16-10-2010 Χρυσό τρίγωνο.png

Αν δεν δοθεί σε εύλογο χρονικό διάστημα απόδειξη, θα δώσω μια δική μου.

Γιώργος Ρίζος

ΚΡΙΤΗΡΙΟ 154.

Αγαπητέ Γιώργο,
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
είναι γεγονός ότι έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις το 154 πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου, τα καλά σου λόγια, την αφιέρωσή σου μιας άσκησης σε άλλη διεύθυνση, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου και την πέμπτη κατά σειρά συνεισφορά σου στην προσπάθειά μας, στο κυνήγι των Κριτηρίων του «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Είναι εύκολο να έχουμε και μία άλλη απόδειξη του παραπάνω νέου σου Κριτηρίου , με εφαρμογή του Κριτηρίου 13 (που έχουμε αναρτήσει ήδη), την οποία (απόδειξη) και θα αναρτήσω με την πρώτη μου ευκαιρία.

{Γιώργο,
οφείλω να επισημάνω ότι το κριτήριό σου δε διαφέρει πολύ από το κριτήριο 44 [Πρόταση 10ι(163)],όπως θα διαπιστώσεις και εσύ, καθώς το αναφέρω παρακάτω και είναι ΒΖ=ΑΒ. Τούτο όμως δε σημαίνει ότι δεν αποτελεί ιδιαίτερο Κριτήριο.

Κριτήριο 44 (Αναφέρομαι στο σχήμα σου).
10ι(163). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Ζ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ και το Δ είναι χρυσή τομή του ΒΖ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό»}.

Και τώρα μετά την παραπάνω επιτυχία, συνεχίζουμε την προσπάθειά μας για την ανακάλυψη του 155 Κριτήριου του «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».

Ευχές.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητέ Γιώργο ,
δίνω παρακάτω την απόδειξη του 154 Κριτηρίου σου, όπως είχα υποσχεθεί:
Κριτήριο 154.
5/154. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Αν γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στη ΒΓ, ΒΕ διχοτόμος της γων. Β και Ζ η προβολή του Ε στη ΒΓ. Δείξτε ότι όταν και μόνο όταν η ΒΔ είναι μέση ανάλογος των ΑΒ και ΔΖ, το τρί-γωνο αυτό είναι «χρυσό». Επινόηση Γιώργου Ρίζου

Απόδειξη (Σχήμα το δικό σου).
(α). Ευθύ.
Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι χρυσό, θα δείξουμε ότι =ΑΒ.ΔΖ. (1).
Επειδή το Ε είναι σημείο της διχοτόμου ΒΕ και ΕΑ ΑΒ, ΕΖ ΒΓ, θα είναι ΑΕ=ΕΖ και ΑΒ=ΒΖ. (2).
Επομένως, αφού αληθεύει η (2), αρκεί να δείξουμε ότι: =ΒΖ.ΖΔ. (3).
Αν Η≡ΑΔ∩ΒΕ τότε, σύμφωνα με το Κριτήριο 13 ( που έχουμε αναρτήσει), θα είναι =ΒΕ.ΕΗ. (4).
Αλλά, ΕΖ//ΗΔ, οπότε εύκολα βρίσκουμε από την (4) ότι είναι και =ΒΖ.ΖΔ.
(β). Αντίστροφο.
Αν αληθεύει η (1), θα δείξουμε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι χρυσό.
Επειδή και πάλι αληθεύει η (2), από την (1) παίρνουμε την (3).
Ακόμη, επειδή ΕΖ//ΗΔ, από την (3), εύκολα βρίσκουμε την (4), η οποία, σύμφωνα με το Κριτήριο 13,σημαίνει ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι χρυσό.
Παρατήρηση.
Είναι φανερό ότι η απόδειξη αυτή, είναι δυνατό να γίνει άμεσα με απλή εφαρμογή του κριτηρίου 44, που την αναρτήσαμε στο προηγούμενο μήνυμά μας, αφού αποδείξουμε πρώτα την (2),


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
σήμερα ΓΙΟΡΤΑΖΟΥΜΕ, καθώς αυτή τη στιγμή έχουμε τη χαρά να αναγγείλουμε το ευχάριστο γεγονός ότι οι επισκέψεις των φίλων μας εδώ, έφθασαν τον αριθμό 3000, πιθανόν ρεκόρ !!!.

Ευχαριστούμε θερμά όλους τους φίλους για το ενδιαφέρον τους, που έγινε αιτία να μας επισκεφθούν.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[gbaloglou]

Αγαπητοί φίλοι,
σήμερα ΓΙΟΡΤΑΖΟΥΜΕ, καθώς αυτή τη στιγμή έχουμε τη χαρά να αναγγείλουμε το ευχάριστο γεγονός ότι οι επισκέψεις των φίλων μας εδώ, έφθασαν τον αριθμό 3000, πιθανόν ρεκόρ !!!.

Ευχαριστούμε θερμά όλους τους φίλους για το ενδιαφέρον τους, που έγινε αιτία να μας επισκεφθούν.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Εγώ πάντως αυτήν την στιγμή βλέπω 3014 -- τυχαίο; δεν νομίζω!

Συγχαρητήρια + χαιρετίσματα,

Γιώργος Μπαλόγλου

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
σήμερα ΓΙΟΡΤΑΖΟΥΜΕ, καθώς αυτή τη στιγμή έχουμε τη χαρά να αναγγείλουμε το ευχάριστο γεγονός ότι οι επισκέψεις των φίλων μας εδώ, έφθασαν τον αριθμό 3000, πιθανόν ρεκόρ !!!.

Ευχαριστούμε θερμά όλους τους φίλους για το ενδιαφέρον τους, που έγινε αιτία να μας επισκεφθούν.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Εγώ πάντως αυτήν την στιγμή βλέπω 3014 -- τυχαίο; δεν νομίζω!

Συγχαρητήρια + χαιρετίσματα,

Γιώργος Μπαλόγλου

Γιώργο,
χάρηκα που σε είδα και σε ευχαριστώ πολύ.
Εγώ τώρα βλέπω 3038. Όπως βλέπεις ο ρυθμός είναι ταχύς, οπότε πιστεύω ότι πολύ σύντομα θα γιορτάσουμε τις 4000 επισκέψεις.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
για την ενημέρωσή σας, βρισκόμαστε στην ευχάριστη θέση, να σας κάνουμε γνωστό ότι επιτύχαμε την επινόηση τριών ακόμη πρωτοεμφανιζόμενων Κριτηρίων με αριθμούς, 155, 156, 157 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» ( Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/155, 5/156, 5/157 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μας με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 152, 153, 154 Κριτήρια δικής μας επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 158 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 155.

Διατυπώσεις-Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Διατυπώσεις και δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών Κριτηρίων δεν θα δοθούν. Θα τα δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τα δικά τους Κριτήρια.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
για την ενημέρωσή σας, βρισκόμαστε στην ευχάριστη θέση, να σας κάνουμε γνωστό ότι επιτύχαμε την επινόηση τριών ακόμη πρωτοεμφανιζόμενων Κριτηρίων με αριθμούς, 158, 159, 160 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» ( Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/158, 5/159, 5/160 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μας με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 155, 156, 157 Κριτήρια δικής μας επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 161 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 158.

Διατυπώσεις-Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Διατυπώσεις και δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών Κριτηρίων δεν θα δο-θούν. Θα τα δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τα δικά τους Κριτήρια.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
με προσωπικά μηνύματά τους, μερική φίλοι με ρωτούν:
Γιατί έδωσα τον αρχικό ορισμό (καθώς τώρα τον έχω αλλάξει, όπως θα διαπιστώσετε), για το χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο, αφού αυτός χρησιμοποιείται από ανέκαθεν, μόνο για τη χρυσή τομή ευθυγράμμου τμήματος;
Ακόμη με ρωτούν και ευρύτερα, για τον χαρακτηρισμό ενός σχήματος ως χρυσού, γιατί υιοθέτησα αυτόν τον ορισμό, ενώ υπάρχουν και άλλοι στη βιβλιογραφία;
Στα ερωτήματα αυτά θα προσπαθήσω να απαντήσω παρακάτω:


Καταρχήν να πω ότι ο ορισμός του «Χρυσού Ορθογώνιου Τριγώνου», όπως τον είχα αρχικά δώσει, δεν είναι δικός μου. Τούτον δανείστηκα από τη βιβλιογραφία, όπως ακριβώς αναφέρεται και προφανώς δεν κυριολεκτεί, αλλά εγώ δεν μπήκα σε αυτή τη λεπτομέρεια. Για μένα, τώρα που το βλέπω καλλίτερα, ορθό θα ήταν να χρησιμοποιούμε αντί του όρου «μέσος και άκρος λόγος» που χρησιμοποιείται για τη χρυσή τομή, να λέμε «μέση ανάλογος», για το τρίγωνο που και εγώ έτσι το εννοώ, όταν τον χρησιμοποιώ και γι' αυτό έκανα και τη σχετική αλλαγή του.

Όσο για τις απόψεις μου για το όλο θέμα ευρύτερα (του χαρακτηρισμού σχήματος ως Χρυσού), τις αναφέρω παρακάτω:
1. Αν λοιπόν εξετάσουμε το Πρόβλημα της χρυσής τομής, από άλλη σκοπιά, (με μια άλλη διατύπωση από τη γνωστής μας), θα δούμε ότι:
Μας δίνονται δύο σημεία Α, Β και ζητάμε ένα τρίτο σημείο Γ του ΑΒ, για το οποίο η ΒΓ είναι μέση ανάλογος των ΑΒ, ΑΓ. Εδώ επειδή το Γ είναι σημείο του ΑΒ, θα είναι και ΑΓ+ΓΒ=ΑΒ. (1). Δηλαδή εδώ έχουμε μια ειδική (ακραία) μορφή τριγώνου ΑΒΓ, εκφυλισμένου σε ευθεία, του οποίου μας δίνεται ότι η πλευρά ΒΓ είναι μέση ανάλογος των δύο άλλων ΑΒ, ΑΓ και ζητάμε, στην ουσία, να κατασκευάσουμε τις ΒΓ, ΓΑ, έτσι ώστε να αληθεύει και η σχέση (1). Έτσι, με τη λύση του προβλήματος, η οποία κατά τους αρχαίους χρόνους είχε επιτευχθεί και που τούτο είχε διατυπωθεί με άλλο, από τον παραπάνω αρχικό τρόπο τότε αλλά και σήμερα διατυπώνεται, αποδείχθηκε ότι είναι ΒΓ/ΓΑ=ΑΒ/ΒΓ=φ, ενώ ο αριθμός φ ονομάστηκε αργότερα χρυσός κτλ. Ακόμη ευρέθη ότι και ο λόγος ΒΑ/ΑΓ είναι ίσος με το τετράγωνο του φ [Πρόταση 10ι(42), του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», τόμος 10].

2. Ας εξετάσουμε τώρα ευρύτερα, τη γενική περίπτωση, κατά την οποία το σημείο Γ δεν θέλουμε να ανήκει στην ΑΒ, οπότε προφανώς δε θα αληθεύει η σχέση (1), αλλά θα αληθεύει η τριγωνική ανισότητα και η πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ είναι μέση ανάλογος των δύο άλλων ΑΒ, ΑΓ. Εδώ προκύπτουν τα ερωτήματα: Υπάρχει ένα τέτοιο ειδικό τρίγωνο; Ποία η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η ΒΓ να είναι μέση ανάλογος των ΑΒ, ΑΓ; Πως κατασκευάζεται; Περιέχεται το φ στα στοιχεία του; Επειδή εδώ δεν αληθεύει η (1), ποία στοιχεία του πρέπει να δίνονται επιπρόσθετα για να είναι ορισμένο το ζητούμενο τρίγωνο; Μερικές απαντήσεις τις έχω δώσει προ 4-5 ετών στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», τόμοι 6-7. Έτσι, στην ερώτηση: (α). Υπάρχει ένα τέτοιο τρίγωνο; Ποία στοιχεία του τριγώνου ΑΒΓ πρέπει να δίνονται επιπρόσθετα ώστε να είναι ορισμένο; Προφανώς πρέπει να δίνονται επαρκεί στοιχεία πχ οι πλευρές του ΑΒ, ΒΓ, οπότε η κατασκευή επιτυγχάνεται εύκολα [Βλέπε την κατασκευή μου 7ι(45) του παραπάνω βιβλίου μου], όπου δίνεται και η απάντηση στο ερώτημα, αν υπάρχει ένα τέτοιο τρίγωνο. (β). Ποία ικανή και αναγκαία συνθήκη πρέπει να ισχύει για να είναι σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η ΒΓ μέση ανάλογος των ΑΒ, ΑΓ; Την απάντηση δίνουμε με την Πρόταση7ι(40), του παραπάνω βιβλίου μου. (γ). Περιέχεται το φ στα στοιχεία ενός τέτοιου ειδικού τριγώνου; Σε τούτο δεν έχω απάντηση, γιατί δεν το έχω ερευνήσει ούτε το βρήκα στη βιβλιογραφία και γι’ αυτό δεν μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε χρυσό, επειδή έχει καθιερωθεί ένα σχήμα να χαρακτηρίζεται χρυσό μόνο αν στα στοιχεία του εμφανίζεται ο αριθμό φ, όπως τούτο συμβαίνει στη χρυσή τομή τμήματος, που είδαμε παραπάνω. Το ερευνώ.

3. Ας εξετάσουμε τώρα μια ειδική περίπτωση τριγώνου ΑΒΓ. Δηλαδή την περίπτωση κατά την οποία το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο στο Γ και βέβαια θέλουμε η ΒΓ να είναι μέση ανάλογος των ΑΒ, ΑΓ. Και για το ειδικό τρίγωνο αυτό μπαίνουν τα ίδια ερωτηματικά. Έτσι: (α). Στο τρίγωνο αυτό, αν δοθεί πχ η πλευρά ΑΒ (υποτείνουσα) δεν απαιτείται άλλο επιπρόσθετο στοιχείο, καθώς έχουμε το δεδομένο ότι τούτο είναι και ορθογώνιο. Αυτό κατασκευάζεται εύκολα [Βλέπε κατασκευή 6ι(56) και τη γενίκευσή της στην Πρόταση 6ι(55) του παραπάνω βιβλίου μου], όπου εκεί βλέπουμε ότι υπάρχει και ένα τέτοιο τρίγωνο. (β). Την ικανή και αναγκαία συνθήκη, για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνία Γ=1 ορθή), ώστε η ΒΓ να είναι μέση ανάλογος των ΑΒ, ΑΓ, δίνουμε στην Πρόταση 7ι(41) του παραπάνω βιβλίου μου. (γ). Στην περίπτωση αυτή, αν εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και το ότι η ΒΓ να είναι μέση ανάλογος των ΑΒ, ΑΓ, εύκολα θα προκύψει εξίσωση με άγνωστο τον λόγο ΑΒ/ΑΓ του οποίου η λύση δίνει τον αριθμό φ. Δηλαδή είναι ΑΒ/ΑΓ=φ [Πρόταση 6ι(53) του παραπάνω βιβλίου μου]. Επομένως, το τρίγωνο αυτό, σύμφωνα με τα παραπάνω, μπορεί να χαρακτηρισθεί χρυσό και γι’ αυτό υιοθέτησα και εγώ αυτό τον χαρακτηρισμό του ως χρυσού. Εδώ θα σημειώσω ότι στα στοιχεία του παραπάνω Χρυσού Ορθογώνιου Τριγώνου έχω εντοπίσει να παρουσιάζεται ο αριθμός φ σε ογδόντα τουλάχιστον περιπτώσεις και άλλες είκοσι το τετράγωνο του φ [Βλέπε παράγραφος 7ι(144) του παραπάνω βιβλίου μου]. Εξάλλου, το τρίγωνο αυτό μπορούμε να το αναγνωρίσουμε ότι είναι χρυσό, με 160 τρόπους, όσα είναι δηλαδή και τα κριτήρια που μέχρι τώρα έχουμε επινοήσει.

4. Όλα τα παραπάνω είναι δυνατό να προκύψουν αν απελευθερώσουμε τη σκέψη μας από τα στενά όρια του Προβλήματος της χρυσής τομής ευθυγράμμου τμήματος, επεκτείνοντάς το στο επίπεδο (τρία σημεία όχι συνευθειακά). Πιστεύω ότι το Πρόβλημα της χρυσής τομής, ετέθη κατά την αρχαιότητα και λύθηκε για να εξυπηρετήσει μόνο τη στενή ανάγκη της διαιρέσεως τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο, που προφανώς είναι μέγα επίτευγμα.

Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
για την ενημέρωσή σας, βρισκόμαστε στην ευχάριστη θέση, να σας κάνουμε γνωστό ότι επιτύχαμε την επινόηση έξι ακόμη πρωτοεμφανιζόμενων Κριτηρίων με αριθμούς, 161 μέχρι 166, «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» ( Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/161 μέχρι 5/166 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μας με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 158 μέχρι 163 Κριτήρια δικής μας επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 167 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 164.

Διατυπώσεις-Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Διατυπώσεις και δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών Κριτηρίων δεν θα δοθούν. Θα τα δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τα δικά τους Κριτήρια, αλλά και τις αποδείξεις τους στα μέχρι τώρα δοσμένα παραπάνω Κριτήρια.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[gbaloglou]

Εικασία 1.
Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), η διχοτόμος του ΒΕ αποτελεί διαγώνιο τετραγώνου που έχει πλευρά το ύψος του τριγώνου ΑΔ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό»..

Αγαπητέ Νίκο,

διάβασα το σημερινό σου μήνυμα και μου έδωσε το έναυσμα να παρατηρήσω εδώ ότι υπάρχει εύκολη υπολογιστική απόδειξη της ανωτέρω εικασίας σου:

Θέτοντας , , , έχουμε και . (Για την διχοτόμο χρησιμοποιώ γνωστό τύπο και, βεβαίως, την ισότητα .)

Εύκολα προκύπτουν τώρα οι ισοδυναμίες



(Χρησιμοποιήθηκε και πάλι η ισότητα .)

Γιώργος Μπαλόγλου

[ΝΙΚΟΣ]

Εικασία 1.
Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), η διχοτόμος του ΒΕ αποτελεί διαγώνιο τετραγώνου που έχει πλευρά το ύψος του τριγώνου ΑΔ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό»..

Αγαπητέ Νίκο,

διάβασα το σημερινό σου μήνυμα και μου έδωσε το έναυσμα να παρατηρήσω εδώ ότι υπάρχει εύκολη υπολογιστική απόδειξη της ανωτέρω εικασίας σου:

Θέτοντας , , , έχουμε και . (Για την διχοτόμο χρησιμοποιώ γνωστό τύπο και, βεβαίως, την ισότητα .)

Εύκολα προκύπτουν τώρα οι ισοδυναμίες



(Χρησιμοποιήθηκε και πάλι η ισότητα .)

Γιώργος Μπαλόγλου

ΕΙΚΑΣΙΑ 1.

Αγαπητέ Γιώργο,
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
είναι γεγονός ότι έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις την απόδειξη της Εικασίας 1, ορθογώνιου τριγώνου.
Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου και την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου στο κυνήγι των Κριτηρίων του «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Έτσι η Εικασία 1, προάγεται αισίως σε Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»με αριθμό 167,όπως βάσιμα πίστευα.


ΥΓ. Γιώργο, την εφαρμογή του τύπου του μήκους της διχτόμου τριγώνου, αναζητούσ και εγώ, αλλά δεν τον έβρισκα στη βιβλιογαφία λόγω και του περιορισένου χρόνου που διέθεσα . Τώρα την βρήκα στη Γεωμετρία του Γ. Παπανικολάου παρ/φος 244, σελ.245.



Ευχές.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[gbaloglou]

Εικασία 1.
Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), η διχοτόμος του ΒΕ αποτελεί διαγώνιο τετραγώνου που έχει πλευρά το ύψος του τριγώνου ΑΔ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό»..

Αγαπητέ Νίκο,

διάβασα το σημερινό σου μήνυμα και μου έδωσε το έναυσμα να παρατηρήσω εδώ ότι υπάρχει εύκολη υπολογιστική απόδειξη της ανωτέρω εικασίας σου:

Θέτοντας , , , έχουμε και . (Για την διχοτόμο χρησιμοποιώ γνωστό τύπο και, βεβαίως, την ισότητα .)

Εύκολα προκύπτουν τώρα οι ισοδυναμίες



(Χρησιμοποιήθηκε και πάλι η ισότητα .)

Γιώργος Μπαλόγλου

ΙΚΑΣΙΑ 1.

Αγαπητέ Γιώργο,
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
είναι γεγονός ότι έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις την απόδειξη της Ικασίας 1, ορθογώνιου τριγώνου.
Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου και την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου στο κυνήγι των Κριτηρίων του «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Έτσι η Ικασία 1, προάγεται αισίως σε Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»με αριθμό 167,όπως βάσιμα πίστευα.


ΥΓ. Γιώργο, την εφαρμογή του τύπου του μήκους της διχτόμου τριγώνου, αναζητούσ και εγώ, αλλά δεν τον έβρισκα στη βιβλιογαφία λόγω και του περιορισένου χρόνου που διέθεσα . Τώρα την βρήκα στη Γεωμετρία του Γ. Παπανικολάου παρ/φος 244, σελ.245.

Τον τύπο αυτόν παραθέτει ο Θανάσης Ξένος στο βιβλίο του "Επιλεγμένα θέματα από τα Μαθηματικά για το διαγωνισμό του ΑΣΕΠ", με σκοπό μια αλγεβρική απόδειξη της πρότασης "αν δυο διχοτόμοι είναι ίσες τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές" (σελ. 248-249).

Νίκο χαίρομαι ιδιαίτερα που είχα έστω και ελάχιστη συνεισφορά στην τεράστια προσπάθεια σου! Νομίζω πως θα ήταν χρήσιμο να μας δώσεις τον γεωμετρικό τρόπο με τον οποίο απέδειξες το ευθύ του Κριτηρίου 167 ώστε να δούμε που και πως κολλάει το αντίστροφο και, ίσως, να βρούμε και γεωμετρική απόδειξη του.

Γιώργος Μπαλόγλου

[ΝΙΚΟΣ]

ΕΙΚΑΣΙΕΣ
Αγαπητοί φίλοι,
επινοήσαμε και δίνουμε παρακάτω δύο Προτάσεις «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», των οποίων έχουμε δώσει τις αποδείξεις των ευθέων τους, ενώ εικάζουμε βάσιμα ότι αληθεύουν και τα αντίστροφά τους. Όμως, παρά τις προσπάθειές μας μέχρι τώρα, δεν επιτύχαμε αποδείξεις των αντιστρόφων τους.
Παρακαλούμε και προκαλούμε όλους τους φίλους και προπαντός εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις αποδείξεις των αντιστρόφων των Προτάσεων αυτών, ώστε να συμπεριληφθούν και αυτές στον αριθμό των μέχρι τώρα Κριτηρίων, «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», που έχουν επινοηθεί:

Εικασία 1.
Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), η διχοτόμος του ΒΕ αποτελεί διαγώνιο τετραγώνου που έχει πλευρά το ύψος του τριγώνου ΑΔ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί Φίλοι,
μετά την απόδειξη και του αντιστρόφου της ΕΙΚΑΣΙΑΣ μας 1, από τον καλό φίλο Γιώργο Μπαλόγλου και την αναβάθμισή της σε Κριτήριο,έχω τη χαρά να παρουσιάσω το παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο με αριθμό 167 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» (καταχωρήθηκε στην παράγραφο 5/167 , του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μου με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), το οποίο (Κριτήριο) αποτελεί και το 164 Κριτήριο δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 168 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 165.

Κριτήριο 167.
5/167. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), η διχοτόμος του ΒΕ αποτελεί διαγώνιο τετραγώνου που έχει πλευρά το ύψος του τριγώνου ΑΔ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Δική μας απόδειξη του ευθέως του παραπάνω κριτηρίου,πιθανόν και του αντίστροφού του, θα δόσουμε με συνημμένο μας σύντομα, μετά από σχετική πρόταση του φίλου Γιώργο Μπαλόγλου.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Εικασία 1.
Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), η διχοτόμος του ΒΕ αποτελεί διαγώνιο τετραγώνου που έχει πλευρά το ύψος του τριγώνου ΑΔ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό»..

Αγαπητέ Νίκο,

διάβασα το σημερινό σου μήνυμα και μου έδωσε το έναυσμα να παρατηρήσω εδώ ότι υπάρχει εύκολη υπολογιστική απόδειξη της ανωτέρω εικασίας σου:

Θέτοντας , , , έχουμε και . (Για την διχοτόμο χρησιμοποιώ γνωστό τύπο και, βεβαίως, την ισότητα .)

Εύκολα προκύπτουν τώρα οι ισοδυναμίες



(Χρησιμοποιήθηκε και πάλι η ισότητα .)

Γιώργος Μπαλόγλου

ΥΓ. Γιώργο, την εφαρμογή του τύπου του μήκους της διχτόμου τριγώνου, αναζητούσ και εγώ, αλλά δεν τον έβρισκα στη βιβλιογαφία λόγω και του περιορισένου χρόνου που διέθεσα . Τώρα την βρήκα στη Γεωμετρία του Γ. Παπανικολάου παρ/φος 244, σελ.245.

Τον τύπο αυτόν παραθέτει ο Θανάσης Ξένος στο βιβλίο του "Επιλεγμένα θέματα από τα Μαθηματικά για το διαγωνισμό του ΑΣΕΠ", με σκοπό μια αλγεβρική απόδειξη της πρότασης "αν δυο διχοτόμοι είναι ίσες τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές" (σελ. 248-249).

Νίκο χαίρομαι ιδιαίτερα που είχα έστω και ελάχιστη συνεισφορά στην τεράστια προσπάθεια σου! Νομίζω πως θα ήταν χρήσιμο να μας δώσεις τον γεωμετρικό τρόπο με τον οποίο απέδειξες το ευθύ του Κριτηρίου 167 ώστε να δούμε που και πως κολλάει το αντίστροφο και, ίσως, να βρούμε και γεωμετρική απόδειξη του.

Γιώργος Μπαλόγλου

Αγαπητέ Γιώργο,
η προσφορά σου είναι μεγάλη, καθώς για μένα το νέο Κριτήριο 167, είναι ένα από τα σημαντικότερα Κριτήρια «χρυσού Ορθογώνιου Τριγώνου», επειδή βρίσκει εφαρμογή και σε άλλα παράγωγα Χρυσά σχήματα, όπως του χρυσού δισορθογώνιου τραπέζιου, του χρυσού ισοσκελούς τριγώνου, κτλ.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 63, δίνω την δική μου απόδειξή του ευθέως του Κριτήριου 167, που μου ζήτησες.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[Ανδρέας Πούλος]

Νίκο,
μας έχεις σπάσει τα νεύρα με τα κριτήριά σου. Θα μας κάνει όλους κομπλεξικούς.
Πρόσεξε, αν φτάσεις σε αριθμό κριτηρίων 666, θα μετανοιώσεις πολύ πικρά.
Πάντως, σου εύχομαι να είσαι καλά, πάντα δημιουργικός, αλλά μέχρι το κριτήριο Νο 665.
Αλλιώς, θα διακόψουμε κάθε σχέση.
Φιλικά,
Ανδρέας

[ΝΙΚΟΣ]

Νίκο,
μας έχεις σπάσει τα νεύρα με τα κριτήριά σου. Θα μας κάνει όλους κομπλεξικούς.
Πρόσεξε, αν φτάσεις σε αριθμό κριτηρίων 666, θα μετανοιώσεις πολύ πικρά.
Πάντως, σου εύχομαι να είσαι καλά, πάντα δημιουργικός, αλλά μέχρι το κριτήριο Νο 665.
Αλλιώς, θα διακόψουμε κάθε σχέση.
Φιλικά,
Ανδρέας

Ανδρέα δεν μπόρεσες ξανακτύπησες, προτού περάσουν 24 ώρες.
Αλλά αυτή τη φορά έπιασες διάνα, καθώς τον αριθμό 665, έχω και εγώ στόχο !!! Δε μας είπες όμως που βρίσκεις κάθε φορά αυτούς τους σημαδιακούς αριθμούς;
Ακόμη, δε μου έδωσες λύση στο πρόβλημα (ερώτημα), ποιός με γλύτωσε από το 166, αλλά ούτε άλλος κανείς έδωσε απάντηση. Περιμένω.

Για να είμαστε σοβαροί, προς το παρόν στο mathematica.gr, στόχο έχω τον αριθμό 200. Κατ’ ιδίαν εγώ θα συνεχίσω στο κυνήγι των Κριτηρίων, έτσι ώστε το νεοδημιουργούμενο βιβλίο μου να περιλάβει όσο το δυνατό περισσότερα Κριτήρια, Λήμματα, Προτάσεις, Κατασκευές «Χρυσού Ορθογώνιου τριγώνου», όπως και όλα τα σχήματα που παράγονται με βάσει το «Χρυσό Ορθογώνιο τρίγωνο» με Κριτήρια, Λήμματα, Προτάσεις, Κατασκευές, όλων των σχημάτων αυτών,όπως των Χρυσών Δισορθογώνιων Τραπέζιων, Χρυσών Ισοσκελών Τριγώνων, κτλ..

Πάντως Ανδρέα, αν το σκεφτούμε σοβαρά, τα Κριτήρια , όσο και να μας είναι ανιαρή δουλειά και ρουτίνα, εν τούτοις έχουν μεγάλη αξία, αν δεις το καθένα χωριστά, καθώς με κάθε ένα απ’ αυτά, μπορείς να αναγνωρίσεις, αν ένα ορθογώνιο τρίγωνο, που μας δίνουν, είναι «Χρυσό» ή όχι και έτσι δε θα μπορέσουν να μας το πουλήσουν για χρυσό. Και αυτό μέχρι τώρα μπορούμε να το επιτύχουμε με 167 τρόπους. Όσα δηλαδή είναι και τα Κριτήριά μας.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να παρουσιάσω τα παρακάτω τρία πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, 168, 169, 170 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» (Αυτά καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/168, 5/169, 5/170 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μου με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια), αποτελούν και τα 165, 166, 167 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 171 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 168.

Κριτήριο 168.
5/168. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Η είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στο ύψος του ΑΔ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ και το τμήμα ΒΗ αποτελεί διαγώνιο τετράγωνου πλευράς ΔΖ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 169.
5/169. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Τ είναι η προβολή του Δ στην ΑΓ και η διχοτόμος του ΒΕ αποτελεί διαγώνιο τετραγώνου που έχει πλευρά το τμήμα ΑΤ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 170.
5/170. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), η διχοτόμος του ΒΕ αποτελεί διαγώνιο τετραγώνου που έχει πλευρά το τμήμα ΕΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω 168, 169 κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο, ή αν μας ζητηθούν. Όμως, για το Κριτήριο 170 θα βάλουμε τις απδείξεις που έχουμε επιτύχει, επειδή θεωρούμε ότι είναι πολύ σημαντικό και γιατί η απόδειξή του παρουσιάζει κάποια δυσκολία.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.