ΝΑ ΛΥΘΕΙ Η ΑΣΚΗΣΗ

ZF1986 · #1

Καλησπέρα,

Έπεσε στα χέρια μου η εξής άσκηση:

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{-x^{^2}}-cos(x) , το x σε rad.$

α) Ν.Δ.Ο. η {f}'

έχει ελάχιστο στο $\left (1/2,2 \right )$ .

β) Ν.Δ.Ο. η {f}''

έχει μέγιστο στο $\left (1/2,2 \right )$ .

Προσπάθησα να το λύσω μόνο με Μαθηματικά Γ' Λυκείου (Bolzano, Rolle κ.τ.λ.) αλλά δε γίνεται νομίζω....
Επίσης, έβαλα τις συνάρτησεις στο Graph και δε φαίνεται να έχει η f ' ελάχιστο........
Παρακαλώ βοηθήστε!
Ευχαριστώ!

#2

Καλησπέρα!

Προφανώς η άσκηση είναι λάθος, ως προς το πρώτο σκέλος της. Δεν κοίταξα καν το δεύτερο.
Είναι $\displaystyle{f'(x) = - 2x{e^{ - {x^2}}} + \sin x}$ και δεν μπορεί να έχει θετική ελάχιστη τιμή

Ratio · #3

$f(x)=e^{-x^2}-cosx=\frac{1}{e^{x^2}}-cosx=\frac{1-e^{x^2}cosx}{e^{x^2}}$

f(0)=0

$f'(x)=\frac{sinx-2xcosx-4x}{e^{x^2}}\\ f'(0)=0$

$f"(x)=\frac{2xsinx-cosx-2x-4}{e^{x^{2}}}$

Αυτό ίσως βοηθήσει , αν και πιστεύω ότι πρέπει να είναι άσκηση για επίλυση με χρήση GDC

#4

Ratio έγραψε:
$f'(x)=\frac{sinx-2xcosx-4x}{e^{x^2}}$

Για ξαναδές το γιατί έχει διάφορα λάθη.

#5

Ratio έγραψε: $f(x)=e^{-x^2}-cosx=\frac{1}{e^{x^2}}-cosx=\frac{1-e^{x^2}cosx}{e^{x^2}}$

$f'(x)=\frac{sinx-2xcosx-4x}{e^{x^2}}\\ f'(0)=0$

$f"(x)=\frac{2xsinx-cosx-2x-4}{e^{x^{2}}}$

Αυτό ίσως βοηθήσει , αν και πιστεύω ότι πρέπει να είναι άσκηση για επίλυση με χρήση GDC

Καλημέρα!

Νομίζω ότι η παράγωγος είναι αυτή που αναφέρει ο Γιώργος παραπάνω.
Τι είναι το GDC;

Ratio · #6

Ναι έχετε δίκιο, εγινε λαθος στις παραγωγίσεις και από όσο βλέπω από την πρώτη παράγωγο είναι πιο απλά τα πράγματα, οπότε μάλλον η άσκηση δεν έχει λάθος

Το GDC είναι calculator της Texas Instruments με τη δυνατότητα γραφικών παραστάσεων που συμπεριλαμβανεται ως μερος των εξετάσεων A-LEVEL και IB δίνοντας τη δυνατότητα εύρεσης ρίζας

Συνήθως σς ασκήσεις όπου εμείς αναζητούμε το διάστημα στο οποίο βρίσκεται μια ρίζα, με τη χρήση GDC βρίσκεται με ακρίβεια δεκαδικών η ρίζα αυτή

Ratio · #7

Μια ιδέα:
$f'(x)=\frac{-2x}{e^{x^2}}+sinx$

Για την sinx ισχύει η δεδομενη ανισότητα

$\left | sinx \right |\leq \left | x \right |\Leftrightarrow -\left | x \right |\leq sinx\leq \left | x \right |$

Θεωρούμε συνάρτηση
$g(x)=e^{x^2}-x^2$
και αποδεικνύουμε με μελέτη ότι
$g(x)\geq 0$
οπότε

$\Leftrightarrow e^{x^{2}}\geq x^{2}\Leftrightarrow \frac{1}{e^{x^{2}}}\leq \frac{1}{x^{2}}$

ενδεχομένως να εξάγεται το ζητούμενο . Θα το δω και αργότερα που εχω χρόνο εκτός αν το συνεχίσει κάποιος άλλος, και βρεθεί άκρη

ΝΑ ΛΥΘΕΙ Η ΑΣΚΗΣΗ

ΝΑ ΛΥΘΕΙ Η ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΝΑ ΛΥΘΕΙ Η ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΝΑ ΛΥΘΕΙ Η ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΝΑ ΛΥΘΕΙ Η ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΝΑ ΛΥΘΕΙ Η ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΝΑ ΛΥΘΕΙ Η ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΝΑ ΛΥΘΕΙ Η ΑΣΚΗΣΗ

Μέλη σε σύνδεση