Τι; Δεν ισχύει το Θ.Μ.Τ.; Αν είναι δυνατόν!

#1

Μία συνάρτηση $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και υπάρχει $\xi$ τέτοιο ώστε για κάθε $a, \, b \in \mathbb R$ με $a\ne b$ ισχύει

$\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a} \ne f'(\xi)$

α) Βρείτε παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης.

β) Δείξτε ότι $f''(\xi ) =0$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 26, 2023 9:20 am
Μία συνάρτηση $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και υπάρχει $\xi$ τέτοιο ώστε για κάθε $a, \, b \in \mathbb R$ με $a\ne b$ ισχύει

$\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a} \ne f'(\xi)$

α) Βρείτε παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης.

β) Δείξτε ότι $f''(\xi ) =0$ .

α) Η

. Για $\xi=0$ είναι $f'(\xi)=f'(0)=0$ και

$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=a^2+ab+b^2 >0=f'(\xi),$

για κάθε $a \neq b$ , καθώς η ισότητα στην πιο πάνω ανισότητα ισχύει μόνο αν a=b=0,

άτοπο.

β) Για κάθε $x \in \mathbb{R},$ ορίζουμε τη συνάρτηση $g_x(t)=\dfrac{f(t)-f(x)}{t-x}-f'(\xi)$ , με $t \neq x$ . Παρατηρούμε αρχικά ότι g_x(t)=g_t(x)

για κάθε $x \neq t$ . Η συνάρτηση g_x

είναι διαφορετική του μηδενός για κάθε

, και άρα διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα $(-\infty, x)$ και $(x,+\infty)$ .

Ισχυρισμός: Η συνάρτηση g_x

διατηρεί σταθερό πρόσημο στο πεδίο ορισμού της, για κάθε

.
Απόδειξη: Έστω πως υπάρχει κάποιο

, για το οποίο η συνάρτηση g_k

αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του

. Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι η g_k

είναι αρνητική στο $(-\infty, k)$ και θετική στο $(k,+\infty)$ . Έστω επίσης $\ell,m$ τέτοια ώστε $k>\ell>m$ . Τότε, $g_k(\ell)<0$ και g_k(m) <0

, συνεπώς και $g_{\ell} (k) <0$ και g_m(k)<0

. Αυτό όμως σημαίνει ότι η συνάρτηση $g_{\ell}$ είναι αρνητική στο διάστημα $(\ell,+\infty)$ και ομοίως η συνάρτηση g_m

είναι αρνητική στο διάστημα $(m, +\infty)$ .

Αφού $\ell \in (m, +\infty)$ και $g_m(\ell)<0,$ άρα $g_{\ell} (m) <0,$ προκύπτει ότι η συνάρτηση $g_{\ell}$ είναι αρνητική σε όλο το πεδίο ορισμού της.

Ομοίως, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση g_s

είναι θετική στο πεδίο ορισμού της, για κάθε s>k

.

Τώρα όμως, αν θεωρήσουμε $\ell<k<s,$ προκύπτει ότι $0<g_s(\ell)=g_{\ell}(s)<0$ , άτοπο.

Συνεπώς, η συνάρτηση g_k

διατηρεί πρόσημο σε όλο το πεδίο ορισμού της, για κάθε

$\blacksquare$

Πίσω στο πρόβλημα, από το αποτέλεσμα του Ισχυρισμού προκύπτει ότι

g_a(b)g_a(c)>0

και

για κάθε

διαφορετικά μεταξύ τους. Αφού όμως g_a(c)=g_c(a),

προκύπτει ότι g_a(b)g_c(d)>0

, συνεπώς η συνάρτηση δύο μεταβλητών $g(x,y)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}-f'(\xi)$ έχει σταθερό πρόσημο για κάθε $x \neq y$ (αν κάποια από τα a,b,c,d

είναι ίσα μεταξύ τους, το ζητούμενο προκύπτει άμεσα από τα παραπάνω).

Τώρα, παρατηρούμε ότι, για κάθε $x_0 \in \mathbb{R},$

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \rightarrow x_0} (g(x,x_0)+f'(\xi)) \geq \lim_{x \rightarrow x_0} f'(\xi)=f'(\xi),$

συνεπώς η παραγωγίσιμη συνάρτηση

παρουσιάζει στο $\xi$ ολικό ελάχιστο, άρα από το Θεώρημα Fermat $f''(\xi)=0,$ όπως θέλαμε.

Σημείωση: Μετά από ΠΜ του κ. Δημήτρη (Demetres) διόρθωσα την λύση, με το κόστος των επιπλέων τεχνικών λεπτομερειών... Ίσως υπάρχει κάτι πιο απλό.

#3

Αλλιώς για το (β). Η συνάρτηση είναι η ίδια με του Ορέστη αλλά τροποποιημένη ώστε να ορίζεται και να είναι συνεχής παντού.

Αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση f'(x)

έχει ολικό (άρα και τοπικό) ακρότατο στο $\xi$ . Αν δεν ισχύει αυτό, τότε μπορούμε να βρούμε a,b

ώστε $f'(a) > f'(\xi) > f'(b)$ .

Ορίζω τώρα τη συνάρτηση

$\displaystyle g_a(x) = \begin{cases} \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} - f'(\xi) & x \neq a \\ f'(a) - f'(\xi) & x = a \end{cases}$

Η g_a

είναι παντού συνεχής (στο x=a

από την παραγωγισιμότητα της

) με

και $g_a(x) \neq 0$ για $x \neq a$ . Άρα η g_a

είναι παντού θετική. Ομοίως η g_b

είναι παντού αρνητική. Αλλά τότε 0 > g_b(a) = g_a(b) > 0

, άτοπο.

#4

Στο ίδιο μήκος κύματος, με ελάχιστη παραλλαγή των δύο προηγούμενων λύσεων.

Ορίζουμε $g(x)=f(x)-xf'(\xi)$ . H συνάρτηση αυτή είναι 1-1

γιατί αλλιώς θα υπήρχαν $a\ne b$ με g(b)=g(a)

. Δηλαδή $f(b)-bf'(\xi) = f(a)-af'(\xi)$ , ισοδύναμα

$\displaystyle{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}= f'(\xi)}$ . Άτοπο.

Συνεπώς η

είναι είτε αύξουσα ή φθίνουσα, ή αλλιώς $g'(x) \ge 0$ για κάθε

, ή η ανάποδη ανισότητα. Ας πούμε, χωρίς βλάβη, ότι ισχύει η πρώτη, οπότε $(f(x)-xf'(\xi))' \ge 0$ , ισόδύναμα $f'(x) \ge f'(\xi)$ . Αυτό σημείναι ότι η

έχει ολικό ελάχιστο στο $\xi$ , οπότε $f'' (\xi)=0$ , όπως θέλαμε.

Τι; Δεν ισχύει το Θ.Μ.Τ.; Αν είναι δυνατόν!

Τι; Δεν ισχύει το Θ.Μ.Τ.; Αν είναι δυνατόν!

Re: Τι; Δεν ισχύει το Θ.Μ.Τ.; Αν είναι δυνατόν!

Re: Τι; Δεν ισχύει το Θ.Μ.Τ.; Αν είναι δυνατόν!

Re: Τι; Δεν ισχύει το Θ.Μ.Τ.; Αν είναι δυνατόν!

Μέλη σε σύνδεση