Ανισότητα

#1

Για κάθε

και $a\geqslant2$ , να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\displaystyle\Bigl({\frac{1+x}{2}}\Bigr)^a+\Bigl({\frac{1-x}{2}}\Bigr)^a\leqslant\frac{1+x^a}{2}\,.}$

#2

Μάλλον για να είναι εδώ ζητήμε διαφορετική απόδειξη. Βάζω μία με μεθόδους Γ' Λυκείου.

Θεωρούμε την συνάρτηση $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ με τύπο

$\displaystyle{ f(x) = \frac{1 + x^a}{2} - \left( \frac{1+x}{2} \right)^a - \left( \frac{1-x}{2} \right)^a. }$

Έχουμε

$\displaystyle{ f'(x) = \frac{a}{2}\left[x^{a-1} - \left( \frac{1+x}{2} \right)^{a-1} + \left( \frac{1-x}{2} \right)^{a-1} \right]}$
$\displaystyle{= \frac{a}{2}\left( \frac{1+x}{2} \right)^{a-1}\left[\left(\frac{2x}{1+x}\right)^{a-1} + \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^{a-1} - 1 \right]. }$

Επειδή $a-1 \geqslant 1$ , ο όρος στις αγκύλες είναι το πολύ $\displaystyle{ \frac{2x}{1+x} + \frac{1-x}{1+x} - 1 = 0}$
και άρα η

είναι φθίνουσα στο [0,1]

. Τέλος επειδή f(1) = 0

, το αποτέλεσμα έπεται.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση