ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

themiskant · #1

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ οι διχοτόμοι του τριγώνου, οι οποίες τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα σημεία Κ, Λ, Μ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ισχύει $\frac{A\Delta }{\Delta K}+\frac{BE}{E\Lambda }+\frac{\Gamma Z}{ZM}\geq 9$

#2

themiskant έγραψε:Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ οι διχοτόμοι του τριγώνου, οι οποίες τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα σημεία Κ, Λ, Μ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ισχύει $\frac{A\Delta }{\Delta K}+\frac{BE}{E\Lambda }+\frac{\Gamma Z}{ZM}\geq 9$

Έχουμε

$\displaystyle{\frac{AD}{DK}=\frac{AD^2}{AD\cdot DK}=\frac{AD^2}{DB\cdot DC}}$

και επειδή ισχύει

$\displaystyle{AD^2=\frac{4bc}{(b+c)^2}s(s-a), BD=\frac{ac}{b+c},CD=\frac{ab}{b+c},}$

βρίσκουμε

$\displaystyle{\frac{AD}{DK}=\frac{4s(s-a)}{a^2}.}$

Επομένως, έχουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\sum \frac{4s(s-a)}{a^2}\geq 9,}$ δηλαδή ότι

$\displaystyle{ (a+b+c)\Big(\frac{b+c-a}{a^2}+\frac{c+a-b}{b^2}+\frac{a+b-c}{c^2}\Big)\geq 9.}$

Κάνοντας πράξεις, έχουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\sum \Big(\frac{b+c}{a}\Big)^2-1\geq 9}$

δηλαδή ότι

$\displaystyle{\sum \Big(\frac{b+c}{a}\Big)^2\geq 12.}$

Λόγω της ανισότητας $\displaystyle{3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2}$ , έχουμε

$\displaystyle{\sum \Big(\frac{b+c}{a}\Big)^2\geq \frac{1}{3}\Big(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\Big)^2\geq \frac{1}{3}\cdot 6^2=12,}$

αφού προφανώς ισχύει

$\displaystyle{\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\geq 6.}$

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Μέλη σε σύνδεση