Ανισότητα σε τρίγωνο

themiskant · #1

Μια ίσως γνωστή ανισότητα σε τρίγωνο:
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σημείο του επιπέδου του τριγώνου αυτού. Να αποδειχτεί ότι : $PA^{4}+PB^{4}+P\Gamma ^{4}\geq \frac{\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}$

#2

themiskant έγραψε:Μια ίσως γνωστή ανισότητα σε τρίγωνο:
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σημείο του επιπέδου του τριγώνου αυτού. Να αποδειχτεί ότι : $PA^{4}+PB^{4}+P\Gamma ^{4}\geq \frac{\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}$

Από την ανισότητα $\displaystyle{3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2}$ έχουμε

$\displaystyle{PA^4+PB^4+PC^4\geq \frac{1}{3}(PA^2+PB^2+PB^2)^2}$ και είναι επίσης γνωστό ότι ισχύει $\displaystyle{PA^2+PB^2+PB^2\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$ (π.χ. από το θεώρημα του Leibniz).

Επομένως έχουμε

$\displaystyle{PA^4+PB^4+PC^4\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{27}}$ .

Αρκεί λοιπόν να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{27}\geq \frac{a^2b^2c^2}{a^2+b^2+c^2}}$ δηλαδή ότι

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}}$ , η οποία είναι συνέπεια της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ.

Προφανώς η ισότητα στην αρχική ισχύει αν -ν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και $\displaystyle{P}$ είναι το βαρύκεντρό του.

#3

themiskant έγραψε:Μια ίσως γνωστή ανισότητα σε τρίγωνο:
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σημείο του επιπέδου του τριγώνου αυτού. Να αποδειχτεί ότι : $PA^{4}+PB^{4}+P\Gamma ^{4}\geq \frac{\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}$

Μία διαφορετική απόδειξη είναι και η ακόλουθη:

Έχουμε από την ανισότητα Cauchy-Schwarz

$\displaystyle{(a^2+b^2+c^2)(PA^4+PB^4+PC^4)\geq (aPA^2+bPB^2+cPC^2)^2}$

και η ζητούμενη ανισότητα προκύπτει από τη γνωστή $\displaystyle{aPA^2+bPB^2+cPC^2\geq abc.}$ (1)

Ανισότητα σε τρίγωνο

Ανισότητα σε τρίγωνο

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση