Ανισότητα σε τρίγωνο, του Ji Chen.

#1

Aς είναι $\displaystyle{ABC}$ τρίγωνο με διαμέσους $\displaystyle{m_{a},m_{b},m_{c}}$ και ακτίνες παρεγγεγραμμένων κύκλων $\displaystyle{r_{a},r_{b},r_{c}.}$
Αποδείξτε ότι

$\displaystyle{\frac{r_{a}r_{b}}{m_{a}m_{b}}+\frac{r_{b}r_{c}}{m_{b}m_{c}}+\frac{r_{c}r_{a}}{m_{c}m_{a}}\geq 3.}$

kwstas12345 · #2

Θα προσπαθήσω να δώσω μια λύση, ελπίζω σωστή μιας και έμεινε καιρό αναπάντητη. Xρησιμοποιώντας κυκλικά τους τύπους $\displaystyle r_{a}=s\tan\frac{A}{2},m_{a}=\frac{\sqrt{2\left(b^2+c^2 \right)-a^2}}{2},\tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\left(s-b \right)\left(s-c \right)}{s\left(s-a \right)}}$ η ανισότητα μευασχήματίζεται εύκολα στην :
$\displaystyle \sum_{cyc}{\frac{\left(a+b \right)^2-c^2}{\sqrt{\left(2\left(b^2+c^2 \right)-a^2 \right)\left(2\left(c^2+a^2 \right)-b^2 \right)}}}\geqslant 3$ .

Aπό ΑΜ-GM $\displaystyle 2\sqrt{\left(2a^2+2c^2-b^2 \right)\left(2b^2+2c^2-a^2 \right)}\leqslant a^2+b^2+4c^2,$ $\displaystyle 2\sqrt{\left(2a^2+2c^2-b^2 \right)\left(2b^2+2a^2-c^2 \right)}\leqslant c^2+b^2+4a^2,$ , $\displaystyle 2\sqrt{\left(2a^2+2c^2-b^2 \right)\left(2b^2+2a^2-b^2 \right)}\leqslant a^2+c^2+4b^2,$ .

Ακόμη $\displaystyle 2ab\geqslant \frac{4a^2b^2}{a^2+b^2},2cb\geqslant \frac{4c^2b^2}{b^2+c^2},2ac\geqslant \frac{4a^2c^2}{a^2+c^2}$ . Άρα $\displaystyle \sum_{cyc}{\frac{\left(a+b \right)^2-c^2}{\sqrt{\left(2\left(b^2+c^2 \right)-a^2 \right)\left(2\left(c^2+a^2 \right)-b^2 \right)}}}\geqslant \sum_{cyc}{\frac{4a^2b^2+\left(a+b \right)^2-c^2\left(a^2+b^2 \right)}{\left(a^2+b^2 \right)\left(4c^2+a^2+b^2 \right)}}$ .

Θέτοντας $\displaystyle x=a^2,y=b^2,z=c^2$ αρκεί $\displaystyle \sum_{cyc}{\frac{6xy+x^2+y^2-zx-zy}{4zx+4zy+2xy+x^2+y^2}}\geqslant \frac{3}{2}$ , η οποία είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle \sum_{cyc}{\frac{5zx+5zy-4xy}{4zx+4zy+\left(x+y \right)^2}}\leqslant \frac{3}{2}$ .

Λόγω ομοιογένειας υποθέτω $\displaystyle xy+yz+zx=1$ . Αν $\diplaystyle zx,yz,zx <5/9$ οι παρανομαστές του β μέλους είναι όλοι θετικοί , επομένως $\displaystyle \sum_{cyc}{\frac{5zx+5zy-4xy}{4zx+4zy+\left(x+y \right)^2}}\leqslant\sum_{cyc}{\frac{5zx+5yz-4xy}{4\left(xy+yz+zx \right)}}=\frac{3}{2}$ .

Υποθέτουμε λόγω συμμετριας της ανιότητας και $\displaystyle x\geqslant y\geqslant z\Rightarrow xy=\max\left\{xy,yz,zx \right\}$ , οπότε αρκεί να εξεταστεί η περίπτωση που ισχύει $\displaystyle xy\geqslant \frac{5}{9}$ . Είναι όμως $\displaystyle x-y\leqslant x-z\Rightarrow \frac{5-9xy}{\left(x-y \right)^2+4}\leqslant \frac{5-9yx}{4+\left(x-z \right)^2}$ .

Άρα $\displaystyle \sum_{cyc}{\frac{5zx+5zy-4xy}{4zx+4zy+\left(x+y \right)^2}}={\frac{5-9xy}{4+\left(x-y \right)^2}}+{\frac{5-9yz}{4+\left(y-z \right)^2}}+{\frac{5-9zx}{4+\left(z-x \right)^2}}$ $\displaystyle \leqslant \frac{10-9\left(xy+xz \right)}{4+\left(x-z \right)^2}+\frac{5-9yz}{4+\left(z-y \right)^2}=\frac{1+9yz}{4+\left(x-z \right)^2}+\frac{5-9yz}{4+\left(y-z \right)^2}\leqslant \frac{3}{2}$ .

Η ισότητα στην αρχική ισχύει όταν a=b=c

.

#3

Δείτε και εδώ: viewtopic.php?f=50&t=12746

Ανισότητα σε τρίγωνο, του Ji Chen.

Ανισότητα σε τρίγωνο, του Ji Chen.

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο, του Ji Chen.

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο, του Ji Chen.

Μέλη σε σύνδεση