Υπολογισμοί σε κανονικό πολύγωνο

#1

Έστω κανονικό

-γωνο εγγεγραμένο σε κύκλο ακτίνας

.

Δείξτε ότι το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών και των διαγωνίων του είναι $\displaystyle{(nr)^2}$ ,

Δείξτε ότι το άθροισμα όλων των πλευρών και όλων των διαγωνίων του είναι $\displaystyle{nr\cot\frac{\pi}{2n}}$ ,

Δείξτε ότι το γινόμενο όλων των πλευρών και όλων των διαγωνίων του είναι $\displaystyle{n^{n/2}r^{n(n-1)/2}}$ .

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Δείξτε ότι το άθροισμα όλων των πλευρών και όλων των διαγωνίων του είναι $\displaystyle{nr\cot\frac{\pi}{2n}}$ .

Έστω $\displaystyle{{A_0}\left( {r,0} \right)}$ η πρώτη κορυφή του. Τότε $\displaystyle{{A_0}{A_1} + {A_0}{A_2} + {\text{ }}..{\text{ }} + {A_0}{A_{n - 1}} = 2r\left( {\sin \left( {\frac{\pi }{n}} \right) + \sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) + {\text{ }}..{\text{ }} + \sin \left( {\frac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{n}} \right)} \right)}$ .

Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό $\displaystyle{z = \cos \left( {\frac{\pi }{n}} \right) + i \cdot \sin \left( {\frac{\pi }{n}} \right)}$ . Τότε $\displaystyle{{z^n} = \cos \left( \pi \right) + i \cdot \sin \left( \pi \right) = - 1}$ και

$\displaystyle{Im\left( {z + {z^2} + {\text{ }}..{\text{ }} + {z^{n - 1}}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{n}} \right) + \sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) + {\text{ }}..{\text{ }} + \sin \left( {\frac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{n}} \right)}$ . Όμως

$\displaystyle{z + {z^2} + {\text{ }}..{\text{ }} + {z^{n - 1}} = z \cdot \frac{{1 - {z^{n - 1}}}}{{1 - z}} = \left( {\cos \left( {\frac{\pi }{n}} \right) + i \cdot \sin \left( {\frac{\pi }{n}} \right)} \right) \cdot \frac{{1 - \cos \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{n}} \right) - i \cdot \sin \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{n}} \right)}}{{1 - \cos \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right) - i \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)}}}$ και

$\displaystyle{\begin{gathered} \frac{{1 - \cos \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{n}} \right) - i \cdot \sin \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{n}} \right)}}{{1 - \cos \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right) - i \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)}} = \frac{{ - 2 \cdot {i^2} \cdot {{\sin }^2}\left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{{2n}}} \right) - 2 \cdot i \cdot \sin \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{{2n}}} \right) \cdot \cos \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{{2n}}} \right)}}{{ - 2 \cdot {i^2} \cdot {{\sin }^2}\left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right) - 2 \cdot i \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right) \cdot \cos \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}} = \hfill \\ \hfill \\ = {\text{ }}..{\text{ }} = \frac{{\sin \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{{2n}}} \right) \cdot \left( {\cos \left( {\dfrac{{\left( {n - 2} \right)\pi }}{{2n}}} \right) + i \cdot \sin \left( {\dfrac{{\left( {n - 2} \right)\pi }}{{2n}}} \right)} \right)}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} }$

Οπότε $\displaystyle{z + {z^2} + {\text{ }}..{\text{ }} + {z^{n - 1}} = i \cdot \frac{{\sin \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{{2n}}} \right)}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}} = i \cdot \frac{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}} = i \cdot \frac{1}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}}}$

Άρα $\displaystyle{{A_0}{A_1} + {A_0}{A_2} + {\text{ }}..{\text{ }} + {A_0}{A_{n - 1}} = \frac{{2 \cdot r}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}}}$ .

Κάνοντας το ίδιο για όλες τις κορυφές και παίρνοντας το μισό (όλες τις χορδές τις παίρνουμε δυο φορές) προκύπτει $\displaystyle{\sum\limits_{0 \leqslant i,j \leqslant n}^{} {{A_i}{A_j}} = \frac{n}{2} \cdot \frac{{2 \cdot r}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}} = n \cdot r \cdot \cot \left( {\frac{\pi }{{2n}}} \right)}$ .

Edit: Είχα "φάει" μια σειρά

Με αντίστοιχη τεχνική βγαίνουν και τα άλλα (θαρρώ).

parmenides51 · #3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Δείξτε ότι το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών και των διαγωνίων του είναι $\displaystyle{(nr)^2}$ .

εδώ

Υπολογισμοί σε κανονικό πολύγωνο

Υπολογισμοί σε κανονικό πολύγωνο

Re: Υπολογισμοί σε κανονικό πολύγωνο

Re: Υπολογισμοί σε κανονικό πολύγωνο

Μέλη σε σύνδεση