Υπολογισμοί σε κανονικό πολύγωνο

Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Υπολογισμοί σε κανονικό πολύγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Δεκ 15, 2010 5:41 pm

Έστω κανονικό n-γωνο εγγεγραμένο σε κύκλο ακτίνας r.

1) Δείξτε ότι το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών και των διαγωνίων του είναι \displaystyle{(nr)^2},

2) Δείξτε ότι το άθροισμα όλων των πλευρών και όλων των διαγωνίων του είναι \displaystyle{nr\cot\frac{\pi}{2n}},

3) Δείξτε ότι το γινόμενο όλων των πλευρών και όλων των διαγωνίων του είναι \displaystyle{n^{n/2}r^{n(n-1)/2}}.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Υπολογισμοί σε κανονικό πολύγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Δεκ 15, 2010 10:28 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: 2) Δείξτε ότι το άθροισμα όλων των πλευρών και όλων των διαγωνίων του είναι \displaystyle{nr\cot\frac{\pi}{2n}}.
Έστω \displaystyle{{A_0}\left( {r,0} \right)} η πρώτη κορυφή του. Τότε \displaystyle{{A_0}{A_1} + {A_0}{A_2} + {\text{ }}..{\text{ }} + {A_0}{A_{n - 1}} = 2r\left( {\sin \left( {\frac{\pi }{n}} \right) + \sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) + {\text{ }}..{\text{ }} + \sin \left( {\frac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{n}} \right)} \right)}.

Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό \displaystyle{z = \cos \left( {\frac{\pi }{n}} \right) + i \cdot \sin \left( {\frac{\pi }{n}} \right)}. Τότε \displaystyle{{z^n} = \cos \left( \pi  \right) + i \cdot \sin \left( \pi  \right) =  - 1} και

\displaystyle{Im\left( {z + {z^2} + {\text{ }}..{\text{ }} + {z^{n - 1}}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{n}} \right) + \sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) + {\text{ }}..{\text{ }} + \sin \left( {\frac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{n}} \right)}. Όμως

\displaystyle{z + {z^2} + {\text{ }}..{\text{ }} + {z^{n - 1}} = z \cdot \frac{{1 - {z^{n - 1}}}}{{1 - z}} = \left( {\cos \left( {\frac{\pi }{n}} \right) + i \cdot \sin \left( {\frac{\pi }{n}} \right)} \right) \cdot \frac{{1 - \cos \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{n}} \right) - i \cdot \sin \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{n}} \right)}}{{1 - \cos \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right) - i \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)}}} και


\displaystyle{\begin{gathered} 
  \frac{{1 - \cos \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{n}} \right) - i \cdot \sin \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{n}} \right)}}{{1 - \cos \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right) - i \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)}} = \frac{{ - 2 \cdot {i^2} \cdot {{\sin }^2}\left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{{2n}}} \right) - 2 \cdot i \cdot \sin \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{{2n}}} \right) \cdot \cos \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{{2n}}} \right)}}{{ - 2 \cdot {i^2} \cdot {{\sin }^2}\left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right) - 2 \cdot i \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right) \cdot \cos \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}} =  \hfill \\ 
   \hfill \\ 
   = {\text{ }}..{\text{ }} = \frac{{\sin \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{{2n}}} \right) \cdot \left( {\cos \left( {\dfrac{{\left( {n - 2} \right)\pi }}{{2n}}} \right) + i \cdot \sin \left( {\dfrac{{\left( {n - 2} \right)\pi }}{{2n}}} \right)} \right)}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}} \hfill \\  
\end{gathered} }

Οπότε \displaystyle{z + {z^2} + {\text{ }}..{\text{ }} + {z^{n - 1}} = i \cdot \frac{{\sin \left( {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{{2n}}} \right)}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}} = i \cdot \frac{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}} = i \cdot \frac{1}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}}}

Άρα \displaystyle{{A_0}{A_1} + {A_0}{A_2} + {\text{ }}..{\text{ }} + {A_0}{A_{n - 1}} = \frac{{2 \cdot r}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}}}.

Κάνοντας το ίδιο για όλες τις κορυφές και παίρνοντας το μισό (όλες τις χορδές τις παίρνουμε δυο φορές) προκύπτει \displaystyle{\sum\limits_{0 \leqslant i,j \leqslant n}^{} {{A_i}{A_j}}  = \frac{n}{2} \cdot \frac{{2 \cdot r}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{{2n}}} \right)}} = n \cdot r \cdot \cot \left( {\frac{\pi }{{2n}}} \right)}.

Edit: Είχα "φάει" μια σειρά :)

Με αντίστοιχη τεχνική βγαίνουν και τα άλλα (θαρρώ).


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμοί σε κανονικό πολύγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Οκτ 10, 2011 7:36 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:1) Δείξτε ότι το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών και των διαγωνίων του είναι \displaystyle{(nr)^2}.
εδώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα για Λύκειο - Seniors”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης