Ανισότητα σε τρίγωνο!

#1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και $\displaystyle{r_{a},r_{b},r_{c}}$ οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων, $\displaystyle{s}$ η ημιπερίμετρος, $\displaystyle{r}$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.
Αποδείξτε ότι

$\displaystyle{r_{a}\Big(1+\sin \frac{A}{2}\Big)+r_{b}\Big(1+\sin \frac{B}{2}\Big)+r_{c}\Big(1+\sin \frac{C}{2}\Big)\leq \frac{s^2}{2r}.}$

kwstas12345 · #2

Μια λύση: Επειδή $\displaystyle r_{a}=s\tan \frac{A}{2},r_{b}=s\tan \frac{B}{2},r_{c}=s\tan\frac{C}{2}$ αρκέι να αποδειχθεί $\displaystyle \sum{\tan\frac{A}{2}\left(1+\sin\frac{A}{2} \right)}\leqslant \frac{s}{2r}$ . Όμως: $\displaystyle \sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\left(s-b \right)\left(s-c \right)}{bc}},\tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\left(s-b \right)\left(s-c \right)}{s\left(s-a \right)}}$

άρα αρκεί τελικά να αποδειχτεί $\displaystyle \sum{\sqrt{\frac{\left(s-b \right)\left(s-c \right)}{s-a}}}\left(1+\sqrt{\frac{\left(s-b \right)\left(s-c \right)}{bc}}} \right)\leqslant \frac{s^2}{2\sqrt{\left(s-a \right)\left(s-b \right)\left(s-c \right)}}$ . Με την χρήση τώρα του δυικού μετασχηματισμού $\displaystyle a=\frac{y+z}{2},b=\frac{z+x}{2},c=\frac{x+y}{2}$ αρκεί

$\displaystyle \sum{\frac{yz\left(\sqrt{yz}+\sqrt{\left(x+y \right)\left(x+z \right)} \right)}{\sqrt{\left(x+y \right)\left(x+z \right)}}}\leqslant \frac{\left(x+y+z \right)^2}{2}$ .

Όμως από ΑΜ-ΓΜ $\displaystyle \sum{\frac{yz\left(\sqrt{yz}+\sqrt{\left(x+y \right)\left(x+z \right)} \right)}{\sqrt{\left(x+y \right)\left(x+z \right)}}}\leqslant \left(x+y+z \right)\sum{\frac{yz}{\sqrt{\left(x+y \right)\left(x+z \right)}}}$ και $\displaystyle \sum{\frac{yz}{\sqrt{\left(x+y \right)\left(x+z \right)}}}\leqslant \frac{1}{2}\sum{yz\left(\frac{1}{x+y} +\frac{1}{x+z}\right)}=\sum{x}$

από την οποία έπεται άμεσα το ζητούμενο. Η ισότητα στην αρχική ισχύει όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Ανισότητα σε τρίγωνο!

Ανισότητα σε τρίγωνο!

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο!

Μέλη σε σύνδεση