Ανισότητα σε τρίγωνο!

Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6097
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ανισότητα σε τρίγωνο!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Δεκ 30, 2010 4:13 pm

Έστω τρίγωνο \displaystyle{ABC} και \displaystyle{r_{a},r_{b},r_{c}} οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων, \displaystyle{s} η ημιπερίμετρος, \displaystyle{r} η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.
Αποδείξτε ότι

\displaystyle{r_{a}\Big(1+\sin \frac{A}{2}\Big)+r_{b}\Big(1+\sin \frac{B}{2}\Big)+r_{c}\Big(1+\sin \frac{C}{2}\Big)\leq \frac{s^2}{2r}.}


Μάγκος Θάνος
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Κυρ Ιούλ 10, 2011 4:20 pm

Μια λύση: Επειδή \displaystyle r_{a}=s\tan \frac{A}{2},r_{b}=s\tan \frac{B}{2},r_{c}=s\tan\frac{C}{2} αρκέι να αποδειχθεί \displaystyle \sum{\tan\frac{A}{2}\left(1+\sin\frac{A}{2} \right)}\leqslant \frac{s}{2r}. Όμως: \displaystyle \sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\left(s-b \right)\left(s-c \right)}{bc}},\tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\left(s-b \right)\left(s-c \right)}{s\left(s-a \right)}}

άρα αρκεί τελικά να αποδειχτεί \displaystyle \sum{\sqrt{\frac{\left(s-b \right)\left(s-c \right)}{s-a}}}\left(1+\sqrt{\frac{\left(s-b \right)\left(s-c \right)}{bc}}} \right)\leqslant \frac{s^2}{2\sqrt{\left(s-a \right)\left(s-b \right)\left(s-c \right)}}. Με την χρήση τώρα του δυικού μετασχηματισμού \displaystyle a=\frac{y+z}{2},b=\frac{z+x}{2},c=\frac{x+y}{2} αρκεί

\displaystyle \sum{\frac{yz\left(\sqrt{yz}+\sqrt{\left(x+y \right)\left(x+z \right)} \right)}{\sqrt{\left(x+y \right)\left(x+z \right)}}}\leqslant \frac{\left(x+y+z \right)^2}{2}.

Όμως από ΑΜ-ΓΜ \displaystyle \sum{\frac{yz\left(\sqrt{yz}+\sqrt{\left(x+y \right)\left(x+z \right)} \right)}{\sqrt{\left(x+y \right)\left(x+z \right)}}}\leqslant \left(x+y+z \right)\sum{\frac{yz}{\sqrt{\left(x+y \right)\left(x+z \right)}}} και \displaystyle \sum{\frac{yz}{\sqrt{\left(x+y \right)\left(x+z \right)}}}\leqslant \frac{1}{2}\sum{yz\left(\frac{1}{x+y} +\frac{1}{x+z}\right)}=\sum{x}

από την οποία έπεται άμεσα το ζητούμενο. Η ισότητα στην αρχική ισχύει όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα για Λύκειο - Seniors”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης