Ανισότητα 20

erxmer · #1

Για κάθε τρίγωνο ABC να αποδειχθεί ότι
$\displaystyle{\frac{\prod{(b+c-a)^2}}{8a^2b^2c^2}\leq \frac{\prod{[2a^2-(b-c)^2]}}{(b+c)^2(c+a)^2(a+b)^2}}$

erxmer · #2

Αν

,

και

, όπου $\displaystyle{x, y, z}$ θετικοί πραγματικοί. Η ανισότητα γίνεται

$\displaystyle{\frac{(y^2 + 6yz + z^2)(z^2 + 6zx + x^2)(x^2 + 6xy + y^2)} {(2x + y + z)^2(2y + z + x)^2(2z + x + y)^2}\geq \frac{8x^2y^2z^2} {(x + y)^2(y + z)^2(z + x)^2}}$

και ισοδύναμα

$\displaystyle{\frac{(y^2 + 6yz + z^2)(z^2 + 6zx + x^2)(x^2 + 6xy + y^2)} {x^2y^2z^2}\geq \frac{8(2x + y + z)^2(2y + z + x)^2(2z + x + y)^2} {(x + y)^2(y + z)^2(z + x)^2}}$

Θέτω
$X=\frac{(y-z)^2}{(x+y)(x+z)} Y=\frac{(z-x)^2}{(z+y)(x+z)} Z=\frac{(x-y)^2}{(z+y)(x+z)} A=\frac{(y-z)^2}{yz} B=\frac{(z-x)^2}{xz} C=\frac{(x-y)^2}{xy}$

οπότε έχω ισοδύναμα
$(8 + A)(8 + B)(8 + C) \geq 8(4 + X)(4 + Y )(4 + Z)$
ή
$64(\sum{A}-2\sum{X})+8(\sum{AB}-4\sum{XY})+(ABC-8XYZ)\geq 0$

Εφόσον $4x^2yz\leq (x+y)(x+z)(y+z)^2 \Rightarrow BC\geq 4YZ$

και $(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2>8x^2y^2z^2 \Rightarrow ABC-8XYZ\geq 0$

η $AB+BC+CA-4XY-4YZ-4ZX\geq 0$ είναι αληθής αν $A+B+C \geq 2X+2Y+2Z$

η οποία είναι εύκολα αποδείξιμη

Ανισότητα 20

Ανισότητα 20

Re: Ανισότητα 20

Μέλη σε σύνδεση