Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!

#1

1. Αν $\displaystyle{ABC}$ οξυγώνιο τρίγωνο, να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\cos ^{3}A+\cos ^3 B+\cos ^3 C+\cos A\cos B \cos C\geq \frac{1}{2}.}$

2. Αν $\displaystyle{ABC}$ τρίγωνο, να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{1}{2-\cos A}+\frac{1}{2-\cos B}+\frac{1}{2-\cos C}\geq 2.}$

3. Αν $\displaystyle{ABC}$ τρίγωνο, να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{1}{5-\cos A}+\frac{1}{5-\cos B}+\frac{1}{5-\cos C}\leq \frac{2}{3}.}$

themiskant · #2

Για την 1. μια λύση:
Με βάση τη γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα: $\sum{\cos ^{2}A}+2\prod{\cos A}=1$ ή $\prod{\cos A}=\frac{1-\sum{\cos ^{2}A}}{2}$ αρκεί να αποδειχτεί η $2\sum{\cos ^{3}A}\geq \sum{\cos ^{2}A}$ . Όμως ισχύει $\sqrt[3]{\frac{\cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C}{3}}\geq \sqrt{\frac{\cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C}{3}}$ ως εφαρμογή της γνωστής ανισότητας των δυνάμεων. Άρα μετά από κάποιες πράξεις αρκεί να αποδειχτεί η ανισότητα: $\sum{\cos ^{2}A}\geq \frac{4}{3}\Leftrightarrow \prod{\cos A}\leq \frac{1}{8}$ , που είναι γνωστή και αποδεικνύεται με πολλούς τρόπους.
Για την 2. εφαρμογή της ανισότητας του Jensen για την κυρτή συνάρτηση: $f\left(x \right)=\frac{1}{2-\cos x}$

#3

themiskant έγραψε:...

Για την 2. εφαρμογή της ανισότητας του Jensen για την κυρτή συνάρτηση: $f\left(x \right)=\frac{1}{2-\cos x}$

Οι πράξεις που κάνω δε δείχνουν (παντού) κυρτότητα. Νομίζω ότι δεν κάνω λάθος. Φίλε Θέμη (;), μπορείς σε παρακαλώ να το ξαναελέγξεις;

themiskant · #4

Έχετε δίκιο για την 2., δικό μου είναι το λάθος στις πράξεις. Για την 1. μήπως υπάρχει και άλλος τρόπος λύσης? Ακόμη για την 1. δεν ξέρω που χρειάζεται το δεδομένο ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο.

#5

themiskant έγραψε:Έχετε δίκιο για την 2., δικό μου είναι το λάθος στις πράξεις. Για την 1. μήπως υπάρχει και άλλος τρόπος λύσης? Ακόμη για την 1. δεν ξέρω που χρειάζεται το δεδομένο ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο.

Η απόδειξη που έχω για την 1) είναι ίδια με τη δική σου.

Το δεδομένο ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο χρησιμοποιείται στην εφαρμογή της ανισότητας των δυνάμεων (είναι $\displaystyle{\cos A, \cos B, \cos C >0}$ ).

dement · #6

Για το 3 :

Με εξέταση της δεύτερης παραγώγου διαπιστώνουμε ότι η $\displaystyle \frac{1}{5 - \cos x}$ έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής στο $[0, \pi]$ , οπότε αρκεί να εξετάσουμε τις περιπτώσεις του ισοσκελούς και των εκφυλισμένων τριγώνων (με τουλάχιστον μια μηδενική γωνία).

Στην περίπτωση του ισοσκελούς, έχουμε $\displaystyle \frac{2}{5 - \cos A} + \frac{1}{4 + 2 \cos^2 A} \leq \frac{2}{3}$ που ισοδυναμεί με την $(\cos A-1)(2 \cos A-1)^2 \leq 0$ που προφανώς ισχύει.

Στην περίπτωση C = 0

έχουμε $\displaystyle \frac{1}{5 - \cos A} + \frac{1}{5 + \cos A} + \frac{1}{4} = \frac{10}{25 - \cos^2 A} + \frac{1}{4} \leq \frac{2}{3}$ .

Δημήτρης Σκουτέρης

Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!

Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!

Re: Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!

Re: Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!

Re: Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!

Re: Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!

Re: Ανισότητες με τα συνημίτονα γωνιών τριγώνου!

Μέλη σε σύνδεση