Ανισότητα σε τρίγωνο ΧΙ

#1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με ημιπερίμετρο $\displaystyle{s.}$
Αποδείξτε ότι

$\displaystyle{\frac{\sqrt{s(s-a)}}{a}+\frac{\sqrt{s(s-b)}}{b}+\frac{\sqrt{s(s-c)}}{c}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2},}$

η οποία, λόγω των ανισοτήτων $\displaystyle{m_{a}\geq \sqrt{s(s-a)}$ κ.τ.λ.

είναι ισχυρότερη της γνωστής

$\displaystyle{\frac{m_{a}}{a}+\frac{m_{b}}{b}+\frac{m_{c}}{c}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.}$

Dreamkiller · #2

Θέτω

και κυκλικά και η δοθείσα γίνεται:
$\displaystyle \sqrt{x+y+z}\left( \frac{\sqrt{x}}{y+z}+\frac{\sqrt{y}}{z+x}+\frac{\sqrt{z}}{x+y}\right) \geq \frac{3\sqrt3}{2}$
Η ανισότητα είναι ομογενής, οπότε αν θεωρήσουμε ότι x+y+z=1

παίρνουμε την:
$\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1-x} +\frac{\sqrt{y}}{1-y}+\frac{\sqrt{z}}{1-z} \geq \frac{3\sqrt3}{2}$ .
Όμως $\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1-x} \geq \frac{3\sqrt3}{2}\left({x-\frac{1}{3}}\right) +\frac{3\sqrt3}{2}$ στο (0,1)

αφού αλλιώς γράφεται $\displaystyle\left({\sqrt{x}-\frac{\sqrt3}{3}}\right)^2\left({9\sqrt{x}+6\sqrt{3}}\right)\geq 0$ .
Δουλεύοντας κυκλικά με την τελευταία και προσθέτοντας τες προκύπτει η ζητούμενη. Η ισότητα ισχύει όταν $\displaystyle x=y=z=\frac{1}{3}$ , όταν δηλαδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Savvass · #3

Dreamkiller έγραψε:Θέτω και κυκλικά και η δοθείσα γίνεται:
$\displaystyle \sqrt{x+y+z}\left( \frac{\sqrt{x}}{y+z}+\frac{\sqrt{y}}{z+x}+\frac{\sqrt{z}}{x+y}\right) \geq \frac{3\sqrt3}{2}$
Η ανισότητα είναι ομογενής, οπότε αν θεωρήσουμε ότι παίρνουμε την:
$\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1-x} +\frac{\sqrt{y}}{1-y}+\frac{\sqrt{z}}{1-z} \geq \frac{3\sqrt3}{2}$ .
Όμως $\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1-x} \geq \frac{3\sqrt3}{2}(x-\frac{1}{3}) +\frac{3\sqrt3}{2}$ στο αφού αλλιώς γράφεται $\displaystyle\left({\sqrt{x}-\frac{\sqrt3}{3}}\right)^2\left({9\sqrt{x}+6\sqrt{3}}\right)\geq 0$ .
Δουλεύοντας κυκλικά με την τελευταία και προσθέτοντας τες προκύπτει η ζητούμενη. Η ισότητα ισχύει όταν $\displaystyle x=y=z=\frac{1}{3}$ , όταν δηλαδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Θα μπορούσες να εξηγήσεις λίγο περισσότερο την λύση σου μετά το "Όμως"; Πώς προέκυψε η ανισότητα και πώς το συγκεκριμένο διάστημα (0,1);
Φαινεται ενδιαφέρουσα σαν λύση αλλά κάπου το χάνω

Dreamkiller · #4

Ο αριθμός

είναι μη μηδενικός, αφού αν ήταν μηδενικός τότε θα είχαμε b=y+z=y+x+z+x=c+a

, δηλαδή το τρίγωνο θα ήταν εκφυλισμένο, και μκρότερος της μονάδας, διότι αν x=1

τότε θα έπρεπε y=z=0

.
Για την ανισότητα χρησιμοποιήθηκε αυτή η μέθοδος: http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... it=tangent

Savvass · #5

Dreamkiller έγραψε:Ο αριθμός είναι μη μηδενικός, αφού αν ήταν μηδενικός τότε θα είχαμε , δηλαδή το τρίγωνο θα ήταν εκφυλισμένο, και μκρότερος της μονάδας, διότι αν τότε θα έπρεπε .
Για την ανισότητα χρησιμοποιήθηκε αυτή η μέθοδος: http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... it=tangent

Ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση. Ενδιαφέρουσα η συγκεκριμένη μέθοδος, δεν την είχα ξανασυναντήσει.

#6

Dreamkiller έγραψε:.Για την ανισότητα χρησιμοποιήθηκε αυτή η μέθοδος: http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... it=tangent

Δείτε και εδώ

#7

Πολύ ωραία η λύση του Dreamkiller.

Παραθέτω και μία ακόμα.

Έχουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\sqrt{x+y+z}\left(\frac{\sqrt{x}}{y+z}+\frac{\sqrt{y}}{z+x}+\frac{\sqrt{z}}{x+y} \right)\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.}$

Λόγω ομογένειας υποθέτουμε ότι $\displaystyle{x+y+z=3,}$ οπότε θα αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\sum \frac{\sqrt{x}}{3-x}\geq \frac{3}{2}.}$

Πράγματι, από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε $\displaystyle{\sqrt{x}^3 +2 =\sqrt{x}^3 +1+1\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{x}^3}=3\sqrt{x}.}$

δηλαδή $\displaystyle{\frac{\sqrt{x}}{3-x}\geq \frac{x}{2}.}$

Επομένως $\displaystyle{\sum \frac{\sqrt{x}}{3-x}\geq \frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}.}$

Ανισότητα σε τρίγωνο ΧΙ

Ανισότητα σε τρίγωνο ΧΙ

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο ΧΙ

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο ΧΙ

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο ΧΙ

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο ΧΙ

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο ΧΙ

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο ΧΙ

Μέλη σε σύνδεση