Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

#1

Μια άσκηση απο το βιβλίο ''ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ'' των Α.Κυριακόπουλου-Χ.Κυβερνήτου.
Να δείξετε πως για κάθε α>0 και για κάθε $\displaystyle{\displaystyle z,w \in \mathbb{C} }$ , ισχύει:

$\displaystyle{\displaystyle |z + w|^2 \leqslant \left( {1 + a} \right)|z|^2 + \left( {1 + \frac{1} {a}} \right)|w|^2 }$ .

Υ.Γ Το βιβλίο μου εστάλη πριν απο αρκετό καιρό με περίσσεια ευγένεια και εκτίμηση απο το συγγραφέα ,αλλά μόλις σήμερα κυριολεκτικα,έπεσα με τα μούτρα για να το διαβάσω...Περιέχει πάρα , μα πάρα πολλές καταπληκτικές ασκήσεις
τέτοιες που με οδηγούν να πω, πως ο Κύριος Αντώνης είχε προηγηθεί κατά πολύ του Titu (Andreescu) και είχε
συγγράψει πρώτος τους μιγαδικούς απο το Α εως το Ζ...

giannisn1990 · #2

Είναι από τριγ. ανισ. $|z+w|^{2} \leq (|z|+|w|)^{2}$ αρκεί να δειχθεί $\displaystyle (|z|+|w|) ^{2}\leq (1+a)|z|^{2}+(1+\frac{1}{a})|w|^{2}$ η οποία γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle a^{2}|z|^{2}+|w|^{2}\geq 2a|z||w| \Leftrightarrow (a|z|-|w|)^{2}\geq 0$ που ισχύει

έχω την εντύπωση ότι λύνετε και με BCS...

Α.Κυριακόπουλος · #3

giannisn1990 έγραψε:Είναι από τριγ. ανισ. $|z+w|^{2} \leq (|z|+|w|)^{2}$ αρκεί να δειχθεί $\displaystyle (|z|+|w|) ^{2}\leq (1+a)|z|^{2}+(1+\frac{1}{a})|w|^{2}$ η οποία γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle a^{2}|z|^{2}+|w|^{2}\geq 2a|z||w| \Leftrightarrow (a|z|-|w|)^{2}\geq 0$ που ισχύει

έχω την εντύπωση ότι λύνετε και με BCS...

giannisn1990 θα μου επιτρέψεις να σου πω, χωρίς να με παρεξηγήσεις, ότι ενώ αρχίζεις ωραία με την τριγωνική ανισότητα και λες ,πολύ σωστά, αρκεί να δειχθεί ότι...,μετά αντί να συνεχίσεις με "αρκεί" μέχρι να φθάσεις σε μία αληθή πρόταση(σε αυτή που φτάνεις) τα χαλάς όλα και λες "η οποία γράφεται ισοδύναμα" κτλ. (συνεχίζεις μεισοδυναμίες,γιατί;)(βλ. Φάκελος του καθηγητή, ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ,παρ/φοι 2,2,2,3,2,4).
Με εκτίμησή

Υ.Γ.Χρήστο σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.Συνάντησα την Φωτεινή και τον Μπάμπη στην Πύλο Σύντομα θα μάθεις νέα από μηνύματα και φωτογραφίες του Μπάμπη.

#4

Δεν είναι καλά λόγια, είναι η αλήθεια. Μιας και μόλις το ανακάλυψα , αυτή η ανισότητα λέγεται ''ανισότητα Bohr''.

ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ

Επενέβην κι έκανα την ''ισότητα'', ''ανισότητα''. Γιατί έτσι είναι...

Βασίλης Καλαμάτας · #5

Μια διαφορετικη προσεγγιση, συνηθως αυτη που ακολουθουν οι μαθητες μου σε τετοιες ασκησεις στο αρχειο....

paganini · #6

vasilis kalamatas έγραψε:Μια διαφορετικη προσεγγιση, συνηθως αυτη που ακολουθουν οι μαθητες μου σε τετοιες ασκησεις στο αρχειο....

Στο αρχειο δε χρειαζονται οι "δεξιες" συνεπαγωγες. βλ. Φάκελος του καθηγητή, ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ,παρ/φοι 2,2,2,3,2,4
Κυριε Κυριακοπουλε σας προλαβα

Βασίλης Καλαμάτας · #7

paganini έγραψε: Στο αρχειο δε χρειαζονται οι "δεξιες" συνεπαγωγες. βλ. Φάκελος του καθηγητή, ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ,παρ/φοι 2,2,2,3,2,4
Κυριε Κυριακοπουλε σας προλαβα

Αγαπητέ paganini (αν θες ενημέρωσε με για το όνομά σου για να μπορώ να σε προσφωνώ με αυτό), το έχω διαβάσει και κατανοήσει, μην νομίζεις ότι μου διαφεύγει.. Επίσης περιμένω το σχόλιο για το Θ. Διχοτόμων, το βρίσκω πρωτότυπο και μου αρέσει να το διαβάζω....

Αλλά με την ευκαιρία να διατυπώσω έναν προβληματισμό, προς όλους τους συναδέλφους:
Αν στις Πανελλήνιες στη θεωρία ζητηθεί η απόδειξη του μέτρου του γινομένου 2 μιγαδικών και ένας μαθητής τη γράψει με τη μέθοδο του "αρκεί" (που δεν αμφισβητώ ότι είναι σωστό), πιστεύετε ότι αυτός που θα διορθώσει το γραπτό θα κόψει μονάδες ή όχι;

Προσωπικά δίνω πολλές πιθανότητες, να συμβούν κάποια από τα παρακάτω:
1. ο συνάδελφος να είναι άπειρος και να αγνοεί την ορθότητα της μεθόδου (πολύ πιθανό)
2. να μην έχει διαβάσει τις σημειώσεις του κ. Κυριακόπουλου (σχεδόν σίγουρο)
3. να περιμένει να "δει" την απόδειξη του σχολικού (σχεδόν σίγουρο)
4. να μη ρωτήσει τον επικεφαλή του βαθμολογικού (πιθανό)
5. να έχει ζαλιστεί από τα πακέτα που έχει διορθώσει και από αυτά που τον περιμένουν (πολύ πιθανό)
6. να κάνει ζέστη και να θέλει να ολοκληρώσει τη βαθμολόγηση για να πάει για μπάνιο (άσχετο, αλλά επίκαιρο)
οπότε θα επέλθει το μοιραίο και δε θα βαθμολογήσει την απόδειξη με το σύνολο των μονάδων...

Με όλο το σεβασμό προς το έργο και τις γνώσεις των βαθμολογητών, αλλά νομίζω (μακάρι να κάνω λάθος) ότι αυτή είναι η σκληρή πραγματικότητα...

Με φιλική διάθεση... Εύχομαι καλό βράδυ σε όλους και υπομονή σε όσους δεν έχουν ξεκινήσει ακόμη τις καλοκαιρινές τους διακοπές....

Α.Κυριακόπουλος · #8

Αγαπητέ Βασίλη.
● Δεν νομίζω ότι οι βαθμολογητές θα το θεωρήσουν λάθος ,όταν οι μαθητές ξεκινάνε από τη σχέση που θέλουν να αποδείξουν και προχωρούν με «αρκεί», μέχρι να φθάσουν σε μία αληθή πρόταση.
Ακόμα και εκείνοι που δεν έχουν διαβάσει τις σημειώσεις μου, όπως λες (και γενικότερα Μαθηματική Λογική) ξέρουν τι σημαίνει «αρκεί», γιατί τη λέξη αυτή την χρησιμοποιούμε και στην καθημερινή γλώσσα με την ίδια έννοια.
Το θέμα αυτό το είχα συζητήσει με το φίλο μου τον Γιώργο τον Πολύζο (Παιδαγωγικό Ινστιτούτο) και μου είχε πει ότι δεν υπάρχει πρόβλημα, γιατί έχει στείλει και σχετικές οδηγίες.
● Πάντως, εκείνο που βλέπω είναι ότι έχουμε φθάσει στο σημείο να φοβόμαστε να τα γράφουμε σωστά (Βασίλη σε καταλαβαίνω), γιατί υπάρχει περίπτωση να τα θεωρήσουν λάθος!!! (και να θεωρήσουν σωστά τα λάθος!!!).
Πόσο χαμηλά πρέπει να πέσουμε ακόμα για να επαναστατήσουμε;
Και μετά λέμε γιατί δεν πάμε καλά στις Βαλκανιάδες και τις Ολυμπιάδες.
Με εκτίμηση και αγάπη.

#9

vasilis kalamatas έγραψε: Αλλά με την ευκαιρία να διατυπώσω έναν προβληματισμό, προς όλους τους συναδέλφους:
Αν στις Πανελλήνιες στη θεωρία ζητηθεί η απόδειξη του μέτρου του γινομένου 2 μιγαδικών και ένας μαθητής τη γράψει με τη μέθοδο του "αρκεί" (που δεν αμφισβητώ ότι είναι σωστό), πιστεύετε ότι αυτός που θα διορθώσει το γραπτό θα κόψει μονάδες ή όχι;

Προσωπικά δίνω πολλές πιθανότητες, να συμβούν κάποια από τα παρακάτω:
1. ο συνάδελφος να είναι άπειρος και να αγνοεί την ορθότητα της μεθόδου (πολύ πιθανό)
2. να μην έχει διαβάσει τις σημειώσεις του κ. Κυριακόπουλου (σχεδόν σίγουρο)
3. να περιμένει να "δει" την απόδειξη του σχολικού (σχεδόν σίγουρο)
4. να μη ρωτήσει τον επικεφαλή του βαθμολογικού (πιθανό)
5. να έχει ζαλιστεί από τα πακέτα που έχει διορθώσει και από αυτά που τον περιμένουν (πολύ πιθανό)
6. να κάνει ζέστη και να θέλει να ολοκληρώσει τη βαθμολόγηση για να πάει για μπάνιο (άσχετο, αλλά επίκαιρο)
οπότε θα επέλθει το μοιραίο και δε θα βαθμολογήσει την απόδειξη με το σύνολο των μονάδων...
Με όλο το σεβασμό προς το έργο και τις γνώσεις των βαθμολογητών, αλλά νομίζω (μακάρι να κάνω λάθος) ότι αυτή είναι η σκληρή πραγματικότητα...
Με φιλική διάθεση...

Δηλαδή αν κατάλαβα καλά υπάρχουν πολλές πιθανότητες ο βαθμολογητής να είναι άπειρος ή αμαθής (σημείο 1) και να μην είναι ενημερωμένος αφού δεν έχει διαβάσει ούτε Κυριακόπουλο ούτε κάτι ανάλογο (σημείο 2), να αιφνιδιάζεται αν δει κάτι διαφορετικό από το σχολικό (σημείο 3) και αν συναντήσει κάποια δυσκολία να είναι αρκετά ασυνείδητος για να μην πάρει άλλη γνώμη (σημείο 4). Συγχρόνως δεν είναι αρκετά ανθεκτικός για να διεκπεραιώσει μία μάλλον συνηθισμένη εργασία αλλά ούτε τα βαθμολογικά κέντρα μπορούν να κάνουν μία ορθολογική κατανομή (σημείο 5). Και Μάη μήνα (γιατί τότε γίνονται αυτές οι δουλειές) ενώ όλοι οι άλλοι (γονείς, φροντιστές) ευαισθησίας ένεκεν είναι κοντά στα παιδιά αυτός ο αήθης και μόνο κάνει την βαθμολόγηση ξεπέτα για να πάρει μια δροσιά στον αιγιαλό (σημείο 6). Και όλα αυτά είναι η πραγματικότητα και μάλιστα σκληρή (επωδός).
Διατυπώσατε μία ευχή: Να κάνετε λάθος. Μα και βέβαια κάνετε λάθος.
Και αναρρωτιέμαι: Είναι άραγε τόσο απαραίτητο σε κάποιους να μειώνουν την δουλειά και την προσφορά κάποιων άλλων; Νισάφι πια.
Μαυρογιάννης

sorfan · #10

Καλησπέρα σε όλους
Για άλλη μία φορά αποτελεί αντικείμενο συζήτησης ο τρόπος αποδειξης μιας άσκησης σύμφωνα με τους κανόνες της μαθηματικής λογικής.
1. Αγαπητέ Αντώνη δεν είμαι σίγουρος για το κατά πόσο έχουν εμπεδωθεί οι έννοιες του αρκεί ή της ισοδυναμίας από αρκετούς συναδέλφους. Επειδή είμαι επιμορφωτής στα ΠΕΚ των νεοδιόριστων, επίτρεψε μου να έχω τις αμφιβολίες μου. Ο Γιώργος ο Πολύζος δεν ξέρω σε ποιους έχει δώσει οδηγίες. Νομίζω όμως ότι αν υπάρχουν τέτοιες θα έπρεπε να βρίσκονται σε όλα τα σχολεία.
2. Κύριε Μαυρογιάννη, όταν ο Βασίλης αναφέρεται, με υπερβολικό ίσως τρόπο, για τους διορθωτές δεν αναφέρεται σε όλους. Όμως έστω και ένας να υπάρχει έχουν αδικηθεί πολλοί μαθητές. Εξάλλου, από αυτή τη χρονιά οι μαθητές μπορούν να δουν τα γραπτά τους, οπότε θα έχουμε και μια καλύτερη εικόνα.
3. Επειδή το θέμα είναι σημαντικό, προτείνω να αναπτυχθεί μια πρωτοβουλία, μεσα από το mathematica, μέσω μιας επιτροπής και να γίνει παράσταση προς το Π.Ι ώστε να σταλούν οδηγίες σε όλα τα σχολεία και να γνωρίζουν καθηγητές, μαθητές διορθωτές τους κανόνες του παιγνιδιού. Οι σημειώσεις του Αντώνη είναι μια πολύ καλή βάση συζήτησης με το ΠΙ

Σπύρος Ορφανάκης

Βασίλης Καλαμάτας · #11

nsmavrogiannis έγραψε: Διατυπώσατε μία ευχή: Να κάνετε λάθος. Μα και βέβαια κάνετε λάθος.
Και αναρρωτιέμαι: Είναι άραγε τόσο απαραίτητο σε κάποιους να μειώνουν την δουλειά και την προσφορά κάποιων άλλων; Νισάφι πια.
Μαυρογιάννης

ΠΗΓΗ: ΕΠΙΣΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ ΤΩΝ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΟΥ ΑΝΑΒΟΘΜΟΛΟΓΗΘΗΚΑΝ ΣΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Ποσοστό 2,35% , δηλαδή στους 38138 μαθητές περίπου 896 γραπτά.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1
Ποσοστό 1,72% , δηλαδή στους 580 μαθητές περίπου 10 γραπτά.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2
Ποσοστό 2,23% , δηλαδή στους 38771 μαθητές περίπου 865 γραπτά.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Ποσοστό 2,59% , δηλαδή στους 10200 μαθητές περίπου 264 γραπτά.

Στην Κατεύθυνση δηλαδή συνολικά 1139 γραπτά....

Νομίζετε ακόμη με βεβαιότητα ότι κάνω λάθος και ότι μειώνω τη δουλειά και την προσφορά κάποιων άλλων;
Αν προκύπτει από κάποια στοιχεία, να ζητήσω δημόσια συγγνώμη και να μου αφαιρεθεί το βήμα από το χώρο αυτό για να εκφράζω τη γνώμη μου, αλλά δεν νομίζω ότι είναι ακριβώς έτσι...

Σχετικά με το σχόλιο σας περί ευαισθησίας γονέων και φροντιστών, νομίζω ότι είναι τουλάχιστον ατυχές...
Προσωπικά είμαι υπερήφανος για το μετερίζι από το οποίο επέλεξα (ή αναγκάστηκα πείτε το όπως θέλετε) να υπηρετώ την επιστήμη που αγαπώ και δε ντρέπομαι να δηλώσω ότι είμαι φροντιστής... Γονιός δεν έχω γίνει ακόμη, οπότε δε θα απολογηθώ γιαυτό...
Αν η ιδιότητα του φροντιστή είναι επιλήψιμη, παρακαλώ τους διαχειριστές να με ενημερώσουν και ζητώ ταπεινά συγγνώμη που διέφυγε της προσοχής μου, από σήμερα θα το έχω στα υπόψη μου....

Καλό απόγευμα σε όλους...

#12

Μιας και το θέμα είναι Μιγάδες από το Δάσκαλο... θέλω να αναφέρω μία ιστορία από ένα βαθμολογικό. Δεν θα πω ότι είναι πιθανόν να συμβεί για τον απλό λόγο ότι συνέβη.
Σωτήριον έτος 2003. Ήταν η χρονιά που μάθαμε ότι μπορεί να δοθεί λάθος θέμα και στο καπάκι να έχει και πολιτική κάλυψη. Συζήτηση στο 38 Βαθμολογικό (Δ' Διεύθυνση Αθηνών. Στο Μοσχάτο). Τα πνεύματα φορτισμένα. Προσπαθούσαμε να τεκμηριώσουμε γιατί το 4ο θέμα είναι λάθος. Στη αίθουσα μπαίνει κάποιος καθυστερημένος αλλά φουριόζος συνάδελφος. Ακούει λίγο από την συζήτηση, πετάγεται και λέει:. "Μα τι συζητάμε τώρα. Ο Κυριακόπουλος είπε ότι το θέμα είναι λάθος. Άρα είναι λάθος".
Μας κακοφάνηκε και συνεχίσαμε την συζήτηση. Αργότερα που πέρασε η ένταση των ημερών (εκείνη τη χρονιά έδινε και ο γιος μου) το φιλοσόφησα. Είδα ότι αυτό που συνέβη συνέβαινε πάντα. Η εκπαίδευση ανέκαθεν ήταν ενιαία. Δεν της φαινότανε αλλά ήτανε. Άνθρωποι με διάφορες σχέσεις εργασίας δίδασκαν παιδιά. Σε "επίσημα" ιδρύματα ή παραέξω. Σε μία από τις βιογραφίες του, αγαπημένου μου, Γαλιλαίου γίνεται μία ανάλυση των εσόδων-εξόδων του. Και προκύπτει ότι δε μπορούσε αυτός ο θαυμάσιος άνθρωπος να τα φέρει βόλτα παρεκτός αν έκανε φροντιστήρια. Οι Σοφιστές, ο Γαλιλαίος, ο Βιβάλντι, ο Μότσαρτ ήταν και φροντιστές. Ο Κυριακόπουλος ήταν συγγραφέας και φροντιστής. Κάποτε όσοι φροντιστές ήσαν αριστείς στον κλάδο τους είχαν βαρύνοντα λόγο. Ο συνάδελφος της ιστορίας μας έκανε κάτι πολύ απλό: Μετέφερε τον βαρύνοντα λόγο του Κυριακόπουλου στην συζήτηση. Αν απομακρυνθούμε λίγο από τον προστατευμένο χώρο του Δημοσίου και πάμε στην πιάτσα εκεί θα δούμε ποιος και τι μετράει. Και η πιάτσα, για αναφερθώ στο παρελθόν, τίμησε τόσο τον Μπαρπαστάθη και τον Τόγκα (καθηγητές δημοσίων σχολείων) όσο τον Σαββαϊδη, και τον Κανέλλο (επιφανείς εκπρόσωποι της φροντιστηριακής εκπαίδευσης). Εκείνη την εποχή, που συμπαθάτε με νοσταλγώ, η αμετροέπεια, εν πολλοίς, εξέλιπε. Όσοι έκαναν κριτική στα κακώς κείμενα στρωνόντουσαν και έβρισκαν επί της ουσίας επιχειρήματα. Το Δελτίο Θεμάτων και η Μαύρη Βίβλος των Εξετάσεων του αείμνηστου και μαχητικού Αριστείδη Πάλλα (κορυφαίου της φροντιστηριακής εκπαίδευσης) υπήρξαν εξαιρετικά δείγματα τεκμηρίωσης που τα έτρεμε η κεντρική εξουσία (κάτι ανέφερε επ΄αυτών, σε άλλο μήνυμα, ο Γιάννης Κερασαρίδης).
Περαίνοντας θέλω να πω ότι όποιος διαχωρίζει την επίσημη δημόσια εκπαίδευση από την φροντιστηριακή είναι ηλίθιος. Όπως εξ΄ίσου ηλίθιος είναι όποιος οχυρώνεται πίσω από την μία ή την άλλη. Πάντα τα επιχειρήματα είχαν αξία. Βραχυπρόθεσμα ή μακροπρόθεσμα.

Θα προσπεράσω κάπως γρήγορα τα επιχειρήματα που προτάχθηκαν:
α: οι εμπειρίες από την διδασκαλία σε ένα ΠΕΚ δε μας λένε πολλά. Εξ΄άλλου μέχρι οι νεοδιόριστοι να φθάσουν να βαθμολογούν παίρνει καιρό. Και από προσωπική μου πείρα έχω διαπιστώσει ότι οι νέοι συνάδελφοι στα βαθμολογικά είναι εκείνοι που κατ΄εξοχήν προστρέχουν στην βοήθεια και στην πείρα του συντονιστή.
β: τα στοιχεία των αναβαθμολογήσεων δεν αποδεικνύουν ότι οι βαθμολογητές δεν κάνουν καλά την δουλειά τους ούτε ότι είναι "παραλίες". Από τη δεκαετία του 60 ο κλάδος της Δοκιμιολογίας έχει προσκομίσει ευρήματα που λένε ότι η βαθμολόγηση όπως κάθε άλλη μέτρηση υπόκειται σε σφάλματα. Που είναι αναπόφευκτα. Και με την ανάλυση τους ασχολήθηκε ακόμη και ο Gauss. Και η ερμηνεία δεν αναφέρει ότι επισυμβαίνουν επειδή οι βαθμολογητές είναι "παραλίες"

Τελειώνοντας και ενθυμούμενος μία ρήση του Κοπέρνικου ότι "είναι χαρακτηριστικό του προπέτη να ψάχνει για λάθη" προτιμώ να στραφώ προς τα σωστά που είναι και μία πιο ταιριαστή ενασχόληση στο mathematica. Και πάντα με αφετηρία την κλασική άσκηση του Δάσκαλου θέλω να θέσω ένα επιπλέον ερώτημα:

______________________________________________________________________________
Βρείτε για ποια ζεύγη $p,\, q$ ισχύει
$|z+w|^{2}\leqslant p|z|^{2}+q|w|^{2}$ για όλα τα $w, z \in \mathbb{C}$ .
______________________________________________________________________________

Μαυρογιάννης

hsiodos · #13

chris_gatos έγραψε:Μια άσκηση απο το βιβλίο ''ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ'' των Α.Κυριακόπουλου-Χ.Κυβερνήτου.
Να δείξετε πως για κάθε α>0 και για κάθε $z,w \in \mathbb{C}$ , ισχύει:
$|z + w|^2 \leqslant \left( {1 + a} \right)|z|^2 + \left( {1 + \frac{1}{a}} \right)|w|^2$ . (1)

nsmavrogiannis έγραψε:
Τελειώνοντας και ενθυμούμενος μία ρήση του Κοπέρνικου ότι "είναι χαρακτηριστικό του προπέτη να ψάχνει για λάθη" προτιμώ να στραφώ προς τα σωστά που είναι και μία πιο ταιριαστή ενασχόληση στο mathematica. Και πάντα με αφετηρία την κλασική άσκηση του Δάσκαλου θέλω να θέσω ένα επιπλέον ερώτημα:

______________________________________________________________________________
Βρείτε για ποια ζεύγη $p,\, q$ ισχύει
$|z+w|^{2}\leqslant p|z|^{2}+q|w|^{2}$ για όλα τα $w, z \in \mathbb{C}$ .(2)
______________________________________________________________________________

Καλό απόγευμα σε όλους
Μια προσέγγιση στο επιπλέον ερώτημα του Νίκου. Θέλουμε η (2) να ισχύει για όλους τους μιγαδικούς z , w.

1. Αν $w=0\,\,\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\,\,\, z\neq 0$ από την (2) προκύπτει $p\geq 1$ και αντίστοιχα αν $z=0\,\,\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\,\,\, w\neq 0$ από την (2) προκύπτει $q\geq 1$ .

2. Τώρα αν $z=q\,\,\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\,\,\, w=p$ πάλι από την (2) παίρνουμε: $pq^2+qp^2\geq (p+q)^2\Rightarrow pq(p+q)\geq (p+q)^2 \Rightarrow pq\geq p+q$ (3)

3. Αν από την (3) προκύπτει $q\geq 1+q$ , άτοπο , συνεπώς και ομοίως

4. $(3)\Rightarrow pq-q\geq p\Rightarrow q(p-1)\geq p\Rightarrow q\geq \frac{p}{p-1}$ (4)

5. Θα δείξουμε ότι για και $q= \frac{p}{p-1}$ ισχύει η (2) . Πράγματι θα υπάρχει $\alpha >0$ ώστε $p=1+\alpha \,\,\,\,(p>1)$ οπότε $q=\frac{1+\alpha }{1+\alpha -1}\Rightarrow q=\left(1+\frac{1}{a} \right)$ . Συνεπώς για να ισχύει η (2) αρκεί να ισχύει η (1) (αρχικό ερώτημα) που έχει αποδειχθεί.
Είναι προφανές τώρα ότι η (2) ικανοποιείται και όταν $q\geq \frac{p}{p-1}$ (σχέση (4) , που είναι ισοδύναμη με την (3) όταν p > 1)

6.Συμπερασματικά οι αριθμοί p,q για τους οποίους ισχύει η (2) για όλους τους μιγαδικούς z , w είναι εκείνοι που ικανοποιούν τις σχέσεις: $p>1\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,pq\geq p+q$ . Η τελευταία σχέση γράφεται και $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\leq 1$ .

Γιώργος

#14

H ωραία ανάλυση του Γιώργου (hsiodos) μας λέει ότι τα ζεύγη των $p,\,q$ που έχουν την ιδιότητα η σχέση $|z+w|^{2}\leqslant p|z|^{2}+q|w|^{2}$ να ισχύει για όλα τα $w, z \in \mathbb{C}$ είναι εκείνα τα οποία επαληθεύουν την
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\leq 1$ .
που αν τα δούμε ως σημεία είναι τα σημεία του

:

: ineq.png (103.91 KiB) Προβλήθηκε 2020 φορές

Και επειδή το

είναι κυρτό μπορούμε να έχουμε και άλλους κλώνους του τύπου:
Να δείξετε ότι αν για όλα τα $w, z \in \mathbb{C}$ ισχύει
$|z+w|^{2}\leqslant p_{1}|z|^{2}+q_{1}|w|^{2}$
$|z+w|^{2}\leqslant p_{2}|z|^{2}+q_{2}|w|^{2}$
τότε για όλα τα $w, z \in \mathbb{C}$ ισχύει και
$|z+w|^{2}\leqslant \frac{p_{1}+p_{2}}{2}|z|^{2}+\frac{q_{1}+q_{2}}{2}|w|^{2}$
Η γνώμη μου είναι ότι το θέμα που επέλεξε ο Χρήστος με την όλη μαθηματική συζήτηση που ακολούθησε δείχνει να έχει ενδιαφέρουσες πτυχές και είναι από αυτά που προσφέρονται για δουλειά στην τάξη. Προσωπικά πολλές φορές προτιμώ ένα θέμα "ποταμό" που για να το συζητήσω στην τάξη θα μου πάρει όλη την ώρα. Όταν το σκηνικό μένει σταθερό πολλή ώρα τα παιδιά εξοικειώνονται και γεννούν ιδέες. Θέτουν ευκολότερα ερωτήματα και αναζητούν απαντήσεις.
Μαυρογιάννης

pito · #15

Μια διαφορετική αντιμετώπιση ( ελπίζω να μην είναι ίδια με το συνημμένο, το οποίο και δεν μπορώ να ανοίξω!)

$\displaystyle (z+w)(\bar{z}+\bar{w})\leq |z|^{2}+a|z|^{2}+|w|^{2}+\frac{1}{a}|w|^{2}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \bar{z}(az-w)+\bar{w}(\frac{w-az}{a})\geq 0\Leftrightarrow (az-w)(a\bar{z}-\bar{w})\geq 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow |az-w|^{2}\geq 0$ , που ισχύει άρα και το αρχικό!

Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Re: Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Re: Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Re: Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Re: Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Re: Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Re: Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Re: Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Re: Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Re: Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Re: Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Re: Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Re: Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Re: Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Re: Μιγάδες απο το Δάσκαλο...

Μέλη σε σύνδεση