Mιγαδικοί 9

erxmer · #1

Δίνεται η εξίσωση z^3+z^2+2z-4=0

.

1) Nα βρεθούν οι λύσεις της στο $\mathbb{C}$

2) Nα βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης, με κορυφές τις εικόνες των ριζών της εξίσωσης, καθώς και τα στοιχεία της

3) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ στα σημεία με τετμημένη

, και να διαπιστωθεί οτι αυτές τέμνονται στον άξονα xx'

4) Αν για τον μιγαδικό

ισχύει η σχέση |w-1|^2+|w+1|^2=16

να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης |u-w|

, όπου

η εικόνα του μιγαδικού που κινείται στην ανωτέρω έλλειψη.

gavrilos · #2

1) Ισχύει $\displaystyle{z^3+z^2+2z-4=(z^3-1)+(z^2-1)+2(z-1)=(z-1)(z^2+z+1)+(z-1)(z+1)+2(z-1)=}$

$\displaystyle{=(z-1)(z^2+z+1+z+1+2)=(z-1)(z^2+2z+4)}$

Επομένως οι ρίζες είναι $\displaystyle{z_{1}=1 \ , \ z_{2}=-1+i\sqrt{3}}$ και $\displaystyle{z_{3}=-1-i\sqrt{3}}$ .

2) Η τέταρτη κορυφή της έλλειψης είναι η $\displaystyle{z_{4}=-1}$ .Επίσης η έλλειψη είναι μετατοπισμένη κατά $\displaystyle{1}$ μονάδα αριστερά (σε σχέση με την έλλειψη της οποίας φορέας του μικρού άξονα είναι ο άξονας $\displaystyle{y'y}$ ).

Άρα η εξίσωση της έλλειψης θα έχει τη μορφή $\displaystyle{\frac{(x+1)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ .

Τα σημεία της έλλειψης με τετμημένη $\displaystyle{-1}$ είναι τα $\displaystyle{(-1,\sqrt{3}),(-1,-\sqrt{3})}$ .

Επομένως $\displaystyle{\frac{(-1+1)^2}{a^2}+\frac{3}{b^2}=1\Leftrightarrow b^2=3}$ .

Τα σημεία με τεταγμένη $\displaystyle{0}$ είναι τα $\displaystyle{(1,0)}$ και $\displaystyle{(-3,0)}$ .

Σε κάθε περίπτωση $\displaystyle{\frac{4}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\Leftrightarrow a^2=4}$ .

Άρα η έλλειψη είναι η $\displaystyle{\boxed{\frac{(x+1)^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}}$ .

3)Τα σημεία με τετμημένη $\displaystyle{0}$ είναι τα $\displaystyle{\left(0,\frac{3}{2}\right),\left(0,-\frac{3}{2}\right)}$ .

Σύμφωνα με τον τύπο $\displaystyle{\frac{xx_{1}}{a^2}+\frac{yy_{1}}{b^2}=1}$ η εφαπτομένη στο σημείο $\displaystyle{\left(0,\frac{3}{2}\right)}$

είναι η $\displaystyle{\frac{x(0+1)}{4}+\frac{\frac{3}{2}y}{3}=1\Leftrightarrow x+2y=3}$ .

Αντίστοιχα η εφαπτομένη στο σημείο $\displaystyle{\left(0,-\frac{3}{2}\right)}$ είναι η $\displastyle{x-2y=3}$ .

Θέτοντας τώρα και στις δύο εξισώσεις $\displaystyle{y=0}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{x=3}$ επομένως κι οι δύο περνούν από το σημείο $\displaystyle{(3,0)}$ του άξονα $\displaystyle{x'x}$ .

4) Η σχέση γράφεται $\displaystyle{(w-1)(\overline{w}-1)+(w+1)(\overline{w}+1)=16\Leftrightarrow w\overline{w}-w-\overline{w}+1+w\overline{w}+w+\overline{w}+1=16\Leftrightarrow 2|w|^{2}=14\Leftrightarrow \boxed{|w|=\sqrt{7}}$ .

Η τριγωνική ανισότητα δίνει $\displaystyle{|u-w|\leq |u|+|w|=|u|+\sqrt{7}}$ .

Επομένως πρέπει να βρούμε τη μέγιστη τιμή του $\displaystyle{|u|}$ .Έστω $\displaystyle{u_{1}}$ ο μιγαδικός για τον οποίο λαμβάνεται η μέγιστη τιμή του $\displaystyle{|u|}$ .

Έστω $\displaystyle{u_{1}=x+yi}$ .Ισχύει $\displaystyle{-3\leq x\leq 1}$ και $\displaystyle{-\sqrt{3}\leq y\leq \sqrt{3}}$ .

Ακόμη $\displaystyle{\frac{(x+1)^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\Leftrightarrow 3(x+1)^2+4y^2=12\Leftrightarrow 4(x^2+y^2)-x^2+6x+3=12\Leftrightarrow x^2+y^2=\frac{x^2-6x+9}{4}}$ .

Έχουμε $\displaystyle{|u_1|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{x^2-6x+9}{4}}$ .

Επειδή $\displaystyle{x\leq 1}$ η τελευταία γράφεται $\displaystyle{|u_{1}|=\frac{3-x}{2}}$ .

Όμως $\displaystyle{x\geq -3\Leftrightarrow 3-x\leq 6\Leftrightarrow \frac{3-x}{2}\leq 3}$ .

Άρα $\displaystyle{|u|\leq 3\Leftrightarrow \boxed{|u-w|\leq 3+\sqrt{7}}}$ που επιτυγχάνεται για $\displaystyle{w=\sqrt{7}}$ και $\displaystyle{u=-3}$ .

Θα δείξουμε ότι υπάρχουν μιγαδικοί $\displaystyle{u_{0},w_{0}}$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{|u_{0}-w_{0}|=0}$ .Αρκεί να δείξουμε ότι μπορεί να ισχύει $\displaystyle{u_{0}=w_{0}}$ .

Υποθέτουμε ότι υπάρχουν $\displaystyle{x_{0},y_{0}}$ ώστε $\displaystyle{x_{0}^2+y_{0}^2=7}$ και ταυτόχρονα $\displaystyle{\frac{(x_{0}+1)^2}{4}+\frac{y_{0}^2}{3}=1}$ .

Η δεύτερη σχέση γράφεται $\displaystyle{3(x_{0}+1)^2+4y_{0}^2=12\Leftrightarrow x_{0}^2+y_{0}^2=\frac{(x_{0}-3)^2}{4}}$ .

Αφού $\displaystyle{x_{0}^2+y_{0}^2=7}$ η τελευταία γράφεται $\displaystyle{(x_{0}-3)^2=28\Leftrightarrow x_{0}=3\pm \sqrt{28}}$ .

Με αντικατάσταση σε μια από τις σχέσεις παίρνουμε $\displaystyle{y_{0}^2=6\sqrt{28}-30\Leftrightarrow y_{0}=\sqrt{12\sqrt{7}-30}}$ .

Επομένως ο κύκλος στον οποίο κινείται ο $\displaystyle{w}$ έχει κοινά σημεία με την έλλειψη άρα η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{|u-w|}$ είναι $\displaystyle{0}$ .

Τελικά $\displaystyle{0\leq |u-w|\leq 3+\sqrt{7}}$ .

erxmer · #3

: 1.png (30.42 KiB) Προβλήθηκε 702 φορές

Mιγαδικοί 9

Mιγαδικοί 9

Re: Mιγαδικοί 9

Re: Mιγαδικοί 9

Μέλη σε σύνδεση