Βρείτε τους μιγαδικούς

Tolaso J Kos · #1

Έστω $z\in \mathbb{C}^*$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{\frac{z^2}{\bar{z}}+3\frac{\bar{z}^2}{z}=4i}$ .
α.Να δειχθεί ότι $\bar{z}^2=2zi$ .
β.Να βρεθούν οι μιγαδικοί που ικανοποιούν τη παραπάνω σχέση.

Ευχαριστώ τους Γιώργη Καλαθάκη, Γιώργο Απόκη, Μιχάλη Σουλάνη, Χρήστο Τσιφάκη, Χαράλαμπο Καράλη, Χρήστο Κυριαζή για την επίσημανση ότι δεν υπήρχε γεωμετρικός τόπος.

maiksoul · #2

Μια... προσέγγιση...!

Έστω $\displaystyle{ \,\,w = \frac{{z^2 }}{{\overline z }}\,\, }$ η αρχική ισότητα γίνεται:

$\displaystyle{ \,\,w + 3\overline w = 4i\mathop \Leftrightarrow \limits^{w = a + bi} a = 0 \wedge \,\,\,b = - 2\,\, }$

άρα : $\displaystyle{ \,\,w = - 2i\,\, }$ οπότε $\displaystyle{ \,\,\,\left| w \right| = 2 \Leftrightarrow \frac{{\,\,\,\left| z \right|^2 }}{{\left| {\overline z } \right|}} = 2 \Leftrightarrow \left| z \right| = 2 \Rightarrow \overline z = \frac{4}{z}\,\,\,\,(2)\,\,\, }$

Άρα έχουμε
$\displaystyle{ \,\,w = - 2i\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} \frac{{z^3 }}{4} = - 2i \Leftrightarrow z^3 = - 8i\,\, \Leftrightarrow \,\,z^3 = \,\,(2i)^3 \,\,(3)\,\, }$

και εφαρμόζωντας διαφορά κύβων στην τελευταία καταλήγουμε στις :

$\displaystyle{ \,\,\,z = 2i\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\,z^2 + 2iz + 4i^2 = 0\,\,\,(4)\,\, }$

Η τελευταία γράφεται :

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \,\,\,\,(4)\, \Leftrightarrow \,\,\,\, - (iz)^2 + 2(iz) - 4 = 0\,\,\,\,\mathop \Leftrightarrow \limits^{v = iz} v^2 - 2v + 4 = 0 \\ \\ \,\, \Leftrightarrow v = 1 + i\sqrt 3 \, \vee \,\,v = 1 - i\sqrt 3 \, \\ \\ \,\, \Leftrightarrow z = \sqrt 3 - i\,\,\,\,\, \vee \,\,\,z = - \sqrt 3 - i\,\,\, \\ \end{array} }$

Άρα τελικά η αρχική ισότητα ικανοποιείται από τρεις και μόνον μιγαδικούς τους :

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \\ \,\,z = 2i\,\,\, \vee \,\,\,\,\,z = \sqrt 3 - i\,\,\,\,\, \vee \,\,\,z = - \sqrt 3 - i\,\,\, \\ \end{array} }$

Βρείτε τους μιγαδικούς

Βρείτε τους μιγαδικούς

Re: Συζυγείς και γεωμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση